pouvez-vous me dire si ce qui va suivre vous parait correct, et quelles
questions pourrait-on me poser sur cela?

le sujet est:commt montrer qu'une série entière est de classe C1?

Soit  a(n)z ^ n une série entière de rayon noté R.La
série   a(n)z n converge normalemt
sur toute partie compacte K incluse dans dans le disque ouvert B(O,R)
preuve: Puisque g:z IzI est continue sur le compact K, g est borné
et atteint sa borne supérieure. Il existe donc r
[O,R[ tq KcB'(O,r)cB(O,R).Puisque
0 r<R,la série numérique  
Ia(n)Ir^ n converge.Comme   n
   ,SupIa(n)z^nI Ia(n)Ir^n,il s'ensuit
que la série   a(n)z^n converge normalemt sur
K.

Soit (an) une suite de nb complexe tq la série entière  
a(n)z^n a un rayon de convergence R 0.Pour tt
x B(O,R) posons f(x)=
a(n)x^n.Alors la fonction f est de classe C1.
preuve: Pour tt nb complexe x,on a f'o(x)=0 et f'n(x)=nanx^(n-1) si
n 1.
Soit r un nb réel tq 0<r<R.Posons Uo=0 et Un=nIanIr^(n-1).Nous savons
que la série dérivée a pour rayon de convergence R,donc la série
de terme général (n+1)Ia(n+1)Ir^n=Un+1 est convergente et il en va
de même de la série de terme général Un.Puisqu'on a If'n(x)I
Un pour tt x B(O,r).Cela
étant vrai quel que soit le nb r tq 0<r<R,la série de fonction  
f'n est normalemt convergente sur tt compact K. D'après
le thm de dérivation terme à terme des séries de fonctions, la fonction
f est dérivable sur K. Les fonctions f'n étant continues,la
fonction f' est continue,donc f est de classe C1

Alors qu'en pensez-vous?