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Axe de symétrie.

Posté par
matheux14
13-11-20 à 15:49

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit la fonction f de \R \mapsto \R et définie par : f(x)=\dfrac{2x²-4x}{x²-2x-3}.

On note (C) sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O , I , J).

1) Déterminer l'ensemble de définition Df de la fonction f.

2) Justifier que \forall x \in D_{f} : f(x)=-\dfrac{3}{2(x+1)}+\dfrac{3}{2(x-3)}+2

3) Calculer les lumites de f aux bornes de son ensemble de définition Df puis interpréter graphiquement les résultats.

4) Démontrer que la droite d'équation x=1 est axe de symétrie de (C).

5) Dresser le tableau de variation de f.

6) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (C) avec (OI) et (OJ).

7) Tracer (C).

Réponses

1) x\in D_{f} \iff x \in \{x\in \R / x²-2x-3 \neq 0 \}

x²-2x-3 \neq 0 \iff (x+1)(x-3) \neq 0

\iff x\neq -1 et x \neq 3

Donc D_{f}=\R \setminus \{-1 ; 3 \}

2) \forall x \in \R \setminus \{-1 ; 3 \} ;

-\dfrac{3}{2(x+1)}+\dfrac{3}{2(x-3)}+2=\dfrac{-3[2(x-3)]+3[2(x+1)]}{[2(x+1)]×[2(x-3)]}+2

\dfrac{-3[2(x-3)]+3[2(x+1)]+2[[2(x+1)]×[2(x-3)]]}{[2(x+1)]×[2(x-3)]}

=\dfrac{-6(x-3) +6(x+1)+(4x+4)(2x-6)}{(2x+2)(2x-6)}

=\dfrac{8x²-16x}{4x²-8x-12}=\dfrac{4(2x²-4x)}{4(x²-2x-3)}

=\dfrac{2x²-4x}{x²-2x-3}= f(x)

3) D_{f}=\R \setminus \{-1 ;3\}= ]-\infty ; -1 [ \cup ] -1 ; 3 [ \cup ] 3 ; +\infty[

*limite en +∞ de f(x)=limite en -∞ de f(x)= 2x²/x² =  2

* limite en -1 de 2x²-4x = limite en 3 de 2x²-4x = 6

\forall x \in ] -\infty ; -1 ] \cup [ 3 ;+\infty[ ; x²-2x-3 \geq 0

\forall x \in [ -1 ; 3] ; x²-2x-3 \leq 0

Par conséquent , limite en -1 de f(x) à gauche = +∞

limite en -1 de f(x) à droite = -∞

limite en 3 de f(x) à gauche = -∞

limite en 3 de f(x) à droite = +∞.

On conclut que la droite y= 2 est asymptote horizontale à (C) en -∞ et en +∞.

Les droites d'équations x= -1 et x= 3 sont les asymptotes verticales à (C).

4) Soit la fonction g de \R vers \R définie par g(x)=f(x+1).

La droite d'équation x=1 est axe de symétrie de (C) si g est paire.

x\in Dg \iff x \in Df et x+1 \in Df

\iff x\in \R \setminus \{-1 ; 3\} et x+1 \neq 3 et x+1 \neq -1

\iff x\in \R \setminus \{-1 ; 3\} et x \neq 2 et x \neq -2

D'où Dg =\R \setminus \{-2 ; -1 ; 2 ; 3 \}

Dg n'est pas symétrique par rapport à 0.

Donc g n'est pas paire.

D'où x = 1 n'est pas axe de symétrie de (C).

Pourtant GeoGebra vérifie bien que x = 1 est l'équation de l'axe de symétrie de (C).

Posté par
hekla
re : Axe de symétrie. 13-11-20 à 16:04

Bonjour

Question 2 vous pouviez simplifier  DC 2(x+1)(x-3)

Pour montrer que x=\alpha est axe de symétrie

j'utilise  

pour tout h tel que \alpha +h \in \D_f,\quad \alpha-h\in D_f

et f(\alpha+h)=f(\alpha-h)

Posté par
matheux14
re : Axe de symétrie. 13-11-20 à 16:12

Oui , mais je me demande pourquoi çà ne marche celle que j'utilise.

Posté par
hekla
re : Axe de symétrie. 13-11-20 à 16:23

Les valeurs pour lesquelles g n'est pas définie ne sont que -2 et 2

Posté par
matheux14
re : Axe de symétrie. 13-11-20 à 16:28

Citation :
4) Soit la fonction g de \R vers \R définie par g(x)=f(x+1).

La droite d'équation x=1 est axe de symétrie de (C) si g est paire.

x\in Dg \iff x \in Df et x+1 \in Df

\iff x\in \R \setminus \{-1 ; 3\} et x+1 \neq 3 et x+1 \neq -1

\iff x\in \R \setminus \{-1 ; 3\} et x \neq 2 et x \neq -2

D'où Dg =\R \setminus \{-2 ; -1 ; 2 ; 3 \}


Donc c'est faux ?

Posté par
hekla
re : Axe de symétrie. 13-11-20 à 16:35

Définissez explicitement g et vous constaterez qu'il n'y a que -2 et 2 comme « valeurs interdites »

Posté par
hekla
re : Axe de symétrie. 13-11-20 à 16:43

g(X)=f(x+1)

Pour pouvoir appliquer f on doit avoir

x+1\not=-1    ce qui correspond à  X \not=-2

Posté par
matheux14
re : Axe de symétrie. 13-11-20 à 18:36

Oui , je vois.

Merci

Posté par
hekla
re : Axe de symétrie. 13-11-20 à 19:23

Pas de problème pour les questions précédentes quoique je ne rédigerais pas ainsi les limites

Il ne devrait pas y avoir de problème pour la suite

Pour la dérivée et son signe utilisez la question 2

De rien



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