Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris la question.

Tu écris:

"Après avoir défini géométriquement et analytiquement la parabole on peut démontrer immédiatement que l'axe (Ox) est axe de symétrie de la parabole."

Ce n'est vrai que si l'équation représentant la parabole est de la forme x = ay² + b. (avec a un réel différent de 0 et b un réel quelconque).

Dans ces conditions uniquement:

f(y) = ay² + b

f(c - y) = a(c-y)² + b
f(c - y) = ac² + ay² - 2acy + b

f(c + y) = a(c+y)² + b
f(c + y) = ac² + ay² + 2acy + b

f(c + y) = f(c - y) si on a:
ac² + ay² - 2acy + b = ac² + ay² + 2acy + b

soit 4acy = 0

La droite d'équation y = c est axex de symétrie de la courbe représentant f(y) = ay² + b si, quel que soit y, on a : 4acy = 0

Et comme a est différent de 0, la seule valeur de c qui convient est c = 0.

Par conséquent le seul axe de symétrie de la courbe représentant la fonction x = ay² + b (avec a un réel différent de 0 et b un réel quelconque) est la droite d'équation x = 0.
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Ce n'est évidemment pas vrai si la fonction représentant la parabole est différente de f(y) = ay² + b avec a un réel différent de 0 et b un réel quelconque)
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Saouf distraction.  

bonjour
merci pour votre réponse mais il me semble qu'il manque encore un point essentiel: qui vous dit que si il y a un axe de symétrie alors il est forcément horizontal, il peut être oblique, à moins de démontrer le contraire
merci encore

Tiens donc. Récemment je me reposais cette question : comment on montre qu'une ellipse n'a que 2 axes de symétrie.

alors là aucune idée non plus...

Oui ellipse ou parabole la méthode doit être la même.  On doit pouvoir y arriver en bricolant mais y a-t-il une méthode "propre" ?

Une approche possible, longue mais probablement sans vraie difficultés mathématiques.

on prend un point A de la parabole d'ordonnée Y: A(aY²+b ; Y)

Soit l'équation d'une droite d oblique x = my + n.

On écrit l'équation de la perpendiculaire d' à d passant par A.

d': x = (-1/m).y + (1/m).Y + aY² + b

On cherche le point B de rencontre de d et d' en résolvant le système:

x = my + n.
x = (-1/m).y + (1/m).Y + aY² + b

On a donc les coordonnées de B en fonction de Y, de m et de n

On peut donc trouver facilement les coordonnées du point C symétrique de A par rapport à d'.

On trouvent les coordonnées de C en fonction de Y, de m et de n.

Il faut ensuite montrer qu'il est impossible de trouver des valeurs de m et n pour que les coordonnées de C satisfassent l'équation de la parobole pour tout Y.
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On peut pratiquer de manière analogue pour une ellipse.

On part d'une ellipse à axes perpendiculaires aux axes du repère et on montre qu'il est impossible d'avoir un axe de symétrie oblique.

Pour les axes de symétries // aux axes, on montre facilement qu'ils sont uniques (1 par direction d'axe).
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Si quelqu'un a le courage de le faire ...


Il n'est pas exclu qu'il existe une autre manière de faire plus directe.