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axiome d'additivité

Posté par
jbsph 11-12-24 à 21:56

Bonjour,
Je n'arrive pas à montrer l'axiome d'additivité dans l'exercice suivant:

Soit p\in ]0,1[, démontrer qu'on définit une loi de probabilité sur l'univers \mathbb{N}^* en posant p_k=p(1-p)^{k-1} pr tt k\in \mathbb{N}^*.

Pour le résoudre je considère \mathbb{P}: \mathcal{P}(\mathbb{N}^*) \rightarrow \mathbb{R} qui coïncide sur les singletons avec p: \mathbb{N^*} \rightarrow \mathbb{R}, k \mapsto p_k.
Je montre que Im(\mathbb{P}) \subset \mathbb{R_+},
que \mathbb{P}(\mathbb{N^*})=1
Mais je n'arrive pas à montrer que pour tout (A_k)_k \in (\mathcal{P}(\mathbb{N^*})^\mathbb{N} deux à deux disjointes, \mathbb{P}(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} A_k ) = \sum_{k\in \mathbb{N}} \mathbb{P}(A_k).
Je n'arrive pas à justifier proprement que la réunion disjointe force à " ne prendre qu'un un et un seul p_k pour tt k \in \bigcup_{i\in \mathbb{N}}A_i".

Posté par
jbsphre : axiome d'additivité 11-12-24 à 21:58

((pour montrer \mathbb{P}(\mathbb{N^*})=1 j'ai utiliser l'axiome d'additivité sans l'avoir montrer...))

Posté par
verdurinre : axiome d'additivité 11-12-24 à 22:25

Bonsoir,
je ne sais pas ce que tu entends par « axiome d'additivité ».
Mais si on a a pas AB= P(AB)=P(A)+P(B) on ne parle pas de probabilité, ni même de mesure.

Une remarque : si on peut démontrer quelque chose ce n'est pas un axiome.

Posté par
jbsphre : axiome d'additivité 11-12-24 à 22:30

C'est bien ce que j'entends par l'axiome d'additivité.
Pour montrer qu'une fonction est une probabilité il faut montrer, entre autre, qu'elle vérifie cet axiome (ou appelons-le propriété alors).

Posté par
jbsphre : axiome d'additivité 11-12-24 à 22:54

Ok, je crois que j'ai compris. Tu veux dire que dans cette exercice on sait déjà que la loi de probabilité est une probabilité sur \mathcal{P}(\mathbb{N^*}) et qu'on a seulement besoin de démontrer que la somme sur le support vaut 1 ?

Posté par
verdurinre : axiome d'additivité 11-12-24 à 23:59

En fait on ne sais rien sinon que l'on associe à l'entier naturel non nul k le réel P_k=p(1-p)^{k-1}.
Ce qui ne défini pas une loi de probabilité.
Sauf si on admet ce que tu appelles « axiome d'additivité ».
Je crois  que son acception est implicite dans l'énoncé. C'est malheureux et on peut penser du mal de l'énoncé.

Posté par
carpediemre : axiome d'additivité 12-12-24 à 11:46

salut

tout comme verdurin (que je salue au passage) je ne comprends rien à ce que tu racontes et il me semble qu'il y a beaucoup de confusions dans ce que tu sais (ou pas ...)

tu as une fonction f définie sur N* telle que pour tout k (non nul) : f(k) = p (1 - p)k

question : cette fonction définit-elle une loi de probabilité ?

a/ rappeler la définition d'une probabilité sur un ensemble E (cours de lycée)
b/ rappeler la définition d'une loi de probabilité (définie par une "densité" f)
b/ vérifier les conditions données dans les définitions précédentes

epictou !!


je ne comprends rien à

jbsph @ 11-12-2024 à 21:56

Mais je n'arrive pas à montrer que pour tout (A_k)_k \in (\mathcal{P}(\mathbb{N^*})^\mathbb{N} deux à deux disjointes, \mathbb{P}(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} A_k ) = \sum_{k\in \mathbb{N}} \mathbb{P}(A_k).
Je n'arrive pas à justifier proprement que la réunion disjointe force à " ne prendre qu'un un et un seul p_k pour tt k \in \bigcup_{i\in \mathbb{N}}A_i".


si A U B contient l'entier k et si A et B sont disjoints (alors il est évident que) :
soit k appartient à A et donc pas à B
soit k appartient à B et donc pas à A

Posté par
jbsphre : axiome d'additivité 12-12-24 à 13:12

Ok.
Une probabilité sur E est une application qui va d'une tribu sur E dans R+ et qui vérifie:
P(univers)=1,
et P est sigma-additive (ce que j'appelle certainement maladroitement l'axiome d'additivité).


Ici la tribu est \mathcal{P}(\mathbb{N^*}).
Im(\mathbb{P}) \subset \mathbb{R_+} montre que \mathbb{P} attérit dans R+.
\mathbb{P}(\mathbb{N^*})=1 montre que P(univers)=1
Et ensuite il reste à montrer la sigma additivité ?

D'accord, il n'y a pas de justification supplémentaire à donner, il est évident alors que "p(Union)=somme(p)" car car elt appartient à un et un seul ensemble?

Posté par
jbsphre : axiome d'additivité 12-12-24 à 13:18

Et sachant qu'on est en discret connaître l'application sur les singleton revient à connaître l'application sur toute la tribu \mathcal{P}(\mathbb{N^*}).

Posté par
carpediemre : axiome d'additivité 12-12-24 à 16:10

jbsph @ 12-12-2024 à 13:12

D'accord, il n'y a pas de justification supplémentaire à donner, il est évident alors que "p(Union disjointe)=somme(p)" car car elt appartient à un et un seul ensemble?


tout ensemble est union disjointe des singletons constitués de ses éléments

donc P(A) = P( \cup_{a \in A} \{a\}) = \sum_{a \in A} P(\{a\}) qui n'a de sens que dans le cas où l'espace est discret

ce qui prouve justement que P(A U B) = P(A) + P(B) quand A et B sont disjoints (ou incompatibles) comme on l'a appris au lycée et qui s'étend à toute union dénombrable par récurrence

Posté par
Rintarore : axiome d'additivité 12-12-24 à 16:20

Bonjour,

je ne suis pas d'accord avec les réponses. Déjà, définir P uniquement sur les singletons de N* ne suffit pas à définir P sur la tribu des parties de N*. Ce que tu fais implicitement, c'est définir P sur les singletons et étendre la définition à la tribu en posant

\forall A \in \mathcal{P}(\N^*) ~:~ P(A) = P( \cup_{a \in A} \{a\}) = \sum_{a \in A} P(\{a\})

(je t'ai piqué le code carpediem ). Mais alors la sigma-additivité est directe et il n'y a rien à prouver ! Le seul point "sensible", c'est démontrer que la masse totale de l'espace est 1.  Comme verdurin, je trouve la formulation de l'énoncé malheureuse.

Posté par
carpediemre : axiome d'additivité 12-12-24 à 16:48

mais je suis d'accord avec toi (et verdurin)

par contre dans ce cas discret :

Rintaro @ 12-12-2024 à 16:20

Déjà, définir P uniquement sur les singletons de N* ne suffit pas à définir P sur la tribu des parties de N*. Ce que tu fais implicitement, c'est définir P sur les singletons et étendre la définition à la tribu en posant

\forall A \in \mathcal{P}(\N^*) ~:~ P(A) = P( \cup_{a \in A} \{a\}) = \sum_{a \in A} P(\{a\}) /quote] en quoi cela est-il faut et comment cela ne suffit-il pas ?

Posté par
Rintarore : axiome d'additivité 12-12-24 à 17:23

Ce n'est pas faux, je dis simplement qu'il faut l'écrire pour être parfaitement rigoureux ! Je suis un peu casse-pieds sur ces questions car j'ai été traumatisé par un professeur sur ce type de rédaction. D'ailleurs, le simple fait d'écrire la formule complète comme tu l'as fait plutôt que de spécifier uniquement les valeurs sur les singletons (modulo un argument tout simple sur les ensembles disjoints déjà donné plus haut) suffit pour répondre facilement à la question

Posté par
carpediemre : axiome d'additivité 12-12-24 à 19:27

ha ok !!

et bien d'accord avec toi : c'est souvent une question de bien écrire les choses dans l'ordre et avec les (bons) arguments au bon endroit qui "suffit" pour rendre clair et limpide la situation

Posté par
jbsphre : axiome d'additivité 12-12-24 à 20:28

C'est un exercice tiré du capes 2021...

Ah oui d'accord. P est une application définie sur les parties de N*, en donnant l'image par P des singletons on donne la correspondance pour une partie strictement incluse dans l'ensemble de définition de P. Donc on ne donne pas la correspondance sur la totalité de l'ensemble de définition de P. Alors forcément comme P est une application ça n'est pas correcte.
Et ok, la sigma additivité est essentielle pour étendre la définition aux parties de N*. En fait dans le cours on considère systématiquement des probabilités, on n'a jamais cherché à prouver qu'une application est une probabilité.

Je pense avoir bien mieux compris

Posté par
carpediemre : axiome d'additivité 12-12-24 à 21:17

cette application n'est pas une probabilité c'est une densité de probabilité ou fonction de masse ...

Posté par
jbsphre : axiome d'additivité 12-12-24 à 21:32

Ah bon? Une probabilité n'est pas une application des parties de l'univers dans R+?
Tu dis ça car dans cet exemple on parle en réalité de la loi de probabilité d'une variable aléatoire qui suit une loi géométrique ? mais la loi de probabilité est aussi une probabilité ?

Posté par
verdurinre : axiome d'additivité 12-12-24 à 21:56

Bonsoir,
juste une remarque : une probabilité n'est pas une application des parties de l'univers dans [0;1] ( vérifiant quelques propriétés ).
C'est une application d'une tribu de parties de l'univers dans [0;1] ( vérifiant quelques propriétés ).

Posté par
jbsphre : axiome d'additivité 12-12-24 à 22:03

Oui pardon, dans le cas général la probabilité est définie sur une tribu.


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