salut
on va dire que a=@
z(a)=(1/2)*(1+e^(ia))^2 ? ou z(a)=1/[2*(1+e^(ia))^2] ?

je vais supposer que c'est la premiere

|z(a)|=(1/2)*|1+e^(ia)|^2=(1/2)*([1+cos(a)]^2+[sin(a)]^2)=(1/2)*[2+2*cos(a)]=1+cos(a)

arg z(a)=arg(1/2)+arg(1+e^(ia))+arg(1+e^(ia))
arg(z(a))=a/2+a/2=a


z(Pi/6)=(1+cos(Pi/6))*exp(i*Pi/6) d'apres question precedente.
z(Pi/6)=(1+rac(3)/2)*exp(iPi/6)

pour la 3 confirme moi l'ecriture de z(a).

c'est ma premiere, merci de vous interresser à la question

a dans ]-Pi,Pi[
soit z l'affixe de P
z=x+iy, (x,y) dans R*R.

on passe dans le plan R*R.
P(x,y)
M((1+cos(a))*cos(a),(1+cos(a)*sin(a))

1er cas : a different de -Pi/2 et de Pi/2

donc (OM) a pour equation y=tan(a)*x

1 er cas a) a different de 0 :

donc (AP) a pour equation y=-x/tan(a)+1/tan(a)
c'est a dire y=(1-x)/tan(a)

P est le point d'intersection de ces 2 droites.

donc (1-x)/tan(a)=tan(a)*x
comme tan(a) different de 0
on a 1-x=tan^2(a)*x
donc 1/[tan^2(a)+1]=x

donc x=cos^2(a)
donc y=tan(a)*x=sin(a)*cos(a)

revenons en au plan complexe :
donc z=x+i*y=cos(a)*[cos(a)+i*sin(a)]=cos(a)*e^(ia)
ce pour a dans ]-Pi,-Pi/2[union]-Pi/2,0[union]0,Pi/2[union]Pi/2,Pi[.

voyons les cas particuliers.
1 er cas b)
a=0 donc M est sur (OA). donc P=M.
z=z(0)=1
donc P=A=M.

on peut ecrire z=cos(0)*exp(i*0)

2 eme cas a=-Pi/2
z(-Pi/2)=(1/2)*(1-i)^2=-i
donc P=O.
on peut ecrire z=cos(-Pi/2)*exp(-i*Pi/2)
2 eme cas b=Pi/2
z(Pi/2)=i
donc P=O.
z=cos(Pi/2)*exp(i*Pi/2)

conclusion P decrit l'ensemble suivant :
{z dans C, z=cos(a)*e^(i*a),a allant de ]-Pi,Pi[}


PM=???
z(a)=(1/2)*(1+2e^(ia)+e^(2ia))

z(a)-z=cos(a)+(1+cos(2a))/2-cos^2(a)+i*{[2*sin(a)+sin(2a)]/2-cos(a)*sin(a)]

or [1+cos(2a)]/2=cos^2(a)
et cos(a)*sin(a)=sin(2a)/2
donc z(a)-z=cos(a)+i*sin(a)
et |z(a)-z|=1

donc PM=1

pour la construction :

soit un point M d'affixe z(a)
pour ce a on peut placer P.
une fois placer P, on trace la perpendiculaire a (AP) passant par P.

PM=1 donc on trace le cercle de centre P et de rayon 1.

il y a deux points qui coupent le cercle et la droite construite.
l'un d'eux est M.
si a est dans [-Pi/2,Pi/2] la distance OM=|z(a)|=1+cos(a)>=1 car cos(a)>=0
donc M ne se trouve pas sur le disque de centre 0 et de rayon 1.
si a est dans ]-Pi,-Pi/2[union]Pi/2,Pi[ alors cos(a)=<0
donc M se trouve sur le disque de centre O et de rayon 1.

ps. je n'ai pas fait la dijonction de cas demandée dans la question 3. je ne le fais qu'a la question 4.

ce qui suppose qu'il existe une autre solution a cette question 3 qui "colle" avec l'enonce.

une fois que tu auras la correction, peux tu (au moins donner les grandes lignes) de la reponse souhaitee ?

merci.bye.