Exercice 1 (4 points)
Partie A
On désigne par (E) l'équation différentielle : 2y' + y = 0 où y est une fonction numérique définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
1. Résoudre l'équation (E).
2. Déterminer la solution particulière  de (E) telle que (0) = 0,5.



Partie B
La direction d'un musée vient de faire l'acquisition d'une nouvelle statue et elle souhaite réaliser un socle en bois pour y déposer celle-ci. On appelle V le volume de ce socle dont la forme est donnée ci-dessous.
Le socle est constitué de deux parties.
(*) Cette cote a été arrondie au centième.
1. La première partie est un cylindre de révolution de 0,50 m de rayon et de 0,50 m de hauteur. Calculer la valeur exacte, en m3, du volume V1 de cette première partie.

2. Le volume V2 de la deuxième partie est celui du solide de révolution engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, du domaine plan limité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction  d'équation  et les droites d'équations  = 0 et  = 0,5.
On précise que la valeur exacte, en m3, de ce volume est donnée par la formule : V2 = .
     a) Calculer V2.
     b) En déduire que la valeur exacte, en m3, du volume du socle est : V =
     c) Donner la valeur arrondie du volume V à 10-3 près.




Exercice 2 (5 points)
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct
(unité graphique : 2 cm).
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante : iz = - + i.
Exprimer la solution sous forme algébrique.

2. Soit A le point d'affixe zA défini par
    a) Déterminer le module et un argument de zA.
    b) En déduire que l'écriture algébrique de zA est 1 + i.

3. On désigne par B et C les points dont les affixes zB et zC sont définies par : zB = -zA et zC = zA².
    a) Ecrire zB et zC sous forme algébrique.
    b) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
    c) Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

4. On note D le point d'affixe zD définie par zD =
Montrer que zD =  où  désigne le nombre complexe conjugué de zA.

5. On note E le point de la droite (AC) dont l'affixe zE est un nombre réel. Calculer zE.




Problème (11 points)
On note I l'intervalle ]0 ; +[.
Partie A
Soient a et b deux nombres réels.
On considère la fonction numérique  définie, pour tout nombre réel  de I, par : .
On note  la courbe représentative de la fonction  dans le plan muni d'un repère orthonormal  (unité graphique : 2 cm).
Soit A le point de coordonnées (1 ; -3).
Calculer les valeurs respectives des nombres réels a et b pour que, d'une part la courbe  passe par le point A et que, d'autre part, la tangente à cette courbe au point A admette un coefficient directeur égal à 0.



Partie B
Dans toute la suite du problème, on étudiera la fonction numérique  définie, pour tout nombre réel  de I, par : .
1. a) Déterminer la limite de la fonction  en 0.
    b) Que peut-on en déduire pour la courbe  ?

2. a) Verifier que, pour tout nombre réel  de I, on a .
    b) En déduire la limite de la fonction  en +.

3. Déterminer la fonction dérivée  de la fonction  puis montrer que, pour tout nombre réel  de I, on a .

4. Étudier le signe de la fonction  sur I et dresser le tableau de variations de la fonction  sur I.

5. Déterminer le signe de  quand le nombre réel  appartient à l'intervalle [1 ; 2].

6. Tracer la courbe  dans le repère .



Partie C
Soit H la fonction numérique définie, pour tout nombre réel  de I, par : .
1. Calculer H'() où H' désigne la fonction dérivée de H.

2. En déduire une primitive F de la fonction  sur I.

3. On appelle  la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations  = 1 et  = 2. Hachurer . Calculer la valeur exacte de l'aire de  en unités d'aire, puis en cm².

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