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Balade à vélo

Posté par
littleguy Posteur d'énigmes
11-01-17 à 11:10

Bonjour,

L'été dernier j'ai effectué un petit périple à bicyclette sur cinq étapes.

Balade à vélo

Certains détails m'ont marqué :

- Les étapes ont été de longueurs toutes différentes, et sur chaque étape j'ai roulé à une vitesse moyenne différente.

- La première étape a été la plus longue (mais moins de 100km) et celle pour laquelle ma vitesse moyenne a été la plus faible. Et la dernière a été la plus courte (mais au moins 50km) et celle sur laquelle ma vitesse moyenne a été la plus élevée. D'ailleurs au fil des étapes j'ai roulé de plus en plus vite.

- Chaque étape avait un nombre entier de kilomètres, ma vitesse moyenne sur chacune de ces étapes en km/h s'exprimait aussi par un nombre entier et ma vitesse moyenne globale sur le périple a été exactement 22km/h.

- Dans aucune étape je n'ai réalisé une moyenne au-dessous de 18km/h ni au-dessus de 30km/h.

Je ne me rappelle pas du tout le nombre total de kilomètres parcourus mais j'aimerais en avoir une idée.
A partir des données précédentes quels sont à votre avis le minimum et le maximum de ce nombre de kilomètres ? Pour chacun d'eux il est demandé de détailler les différentes étapes (distances et vitesse).

Par exemple vous pourrez pour chaque extremum présenter vos  conclusions sous cette forme :

Balade à vélo

Bonne balade !  

Posté par
trapangle
re : Balade à vélo 11-01-17 à 14:01

gagnéBonjour,

J'ai pris l'hypothèse que la vitesse moyenne globale sur le périple était le quotient de la distance totale parcourue divisée par le temps total passé à rouler. Ça aurait aussi pu être la moyenne arithmétique des vitesses moyennes des 5 étapes (qui n'a pas de sens physique), mais il me semble que l'énoncé favorise le premier calcul.

Je trouve (grâce à un programme) que le nombre total de kilomètres parcourus est compris entre 272 et 473 km.

Pour le minimum:

étape12345périple
distance (km)6257525150272
vitesse (km/h)181922273022


Pour le maximum :
étape12345périple
distance (km)9995929691473
vitesse (km/h)182023242822


Maintenant je vais essayer de la résoudre avec seulement papier et bic, ça n'a pas l'air évident...

Merci littleguy pour toutes tes énigmes

Posté par
Nofutur2
re : Balade à vélo 11-01-17 à 18:11

gagnéMerci pour l'énigme ..
Le plus petit parcours possible fait 272 km.
Le plus grand parcours possible fait 473 km.

Les détails "distance/vitesse" de la première à la dernière étape :

distances :  62    57    52    51    50   272
vitesses    :  18    19    22    27    30      22

distances :  99    95    92    96    91   473
vitesses    :  18    20    23    24    28      22

Posté par
dpi
re : Balade à vélo 11-01-17 à 18:36

perduBonsoir

La précision en km/h devrait suffire, si la seconde
devait intervenir poisson assuré.

Balade à vélo

Posté par
torio
re : Balade à vélo 11-01-17 à 19:33

gagné272 km pour le minimum
473 km pour le MAXIMUM

A+
Torio

Balade à vélo

Posté par
derny
re : Balade à vélo 12-01-17 à 00:18

perduBonsoir

Balade à vélo

Balade à vélo

Posté par
LittleFox
re : Balade à vélo 12-01-17 à 06:03

perdu
Drôle d'énigme, je ne vois pas de contraintes qui lient les distances et les vitesses moyennes. Donc pour moi la distance totale maximale est donnée quand on prend les 5 valeurs maximales pour les distances et celle minimale quand on prend celles minimales. Peut importe les vitesse.

Distance maximale :

étape12345périple
distance9998979695485
vitesse181920233022


Distance minimale :
étape12345périple
distance5453525150260
vitesse181920233022


Ce qui laisse pas mal d'incertitude sur la distance réellement parcourue

Posté par
rschoon
re : Balade à vélo 12-01-17 à 09:35

perduBonjour à tous.

Distance minimum : 418 km

Etape12345Périple
Distance9086848078418
Vitesse182024252622


Distance maximum : 462 km
Etape12345Périple
Distance9995969181462
Vitesse181924262722


Merci pour l'énigme

Posté par
franz
re : Balade à vélo 12-01-17 à 12:44

perdu\begin{array}{||l||c|c|c|c|c||c||}\hline \text{étape} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{périple}\\\hline \text{distance mini} & 80 & 63 & 66 & 69 & 52 & {\red 330} \\ \hline \text{vitesse} & 20 & 21 & 22 & 23 & 26 & 22\\\hline\end{array}



\begin{array}{||l||c|c|c|c|c||c||}\hline \text{étape} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{périple}\\\hline \text{distance maxi} & 95 & 84 & 88 & 92 & 81 & {\red 440} \\ \hline \text{vitesse} & 19 & 21 & 22 & 23 & 27 & 22\\\hline\end{array}

Posté par
dpi
re : Balade à vélo 15-01-17 à 19:58

perduSuite pour l'honneur:

Dans ma réponse précédente  j'ai privilégié le maxi et le mini ,mais si la
précision excluait toute décimale même lointaine...
La réponse serait:
Maxi         95    84   77   60   58 = 374
moyenne 19  21  22   24   29 =22

Mini          76   70  66   60  58 = 330
moyenne 19  20  22   24  29  =22

Posté par
Cpierre60
re : Balade à vélo 19-01-17 à 20:52

perduBonsoir,
Merci pour cette énigme.
Je propose 231 et 374.

Balade à vélo

Posté par
pondy
re : Balade à vélo 24-01-17 à 18:49

gagnéSalut
distance max: 473 km
distance min: 272 km

Balade à vélo

Posté par
Chatof
re : Balade à vélo 27-01-17 à 12:37

perdu
périple minimum:

étape12345périple
distance50 56 53 52 51262
vitesse 18 21 22 24 27
étape12345périple
distance51 50 53 52 56 262
vitesse18 20 22 24 28
étape12345périple
distance51 56 53 50 52262
vitesse 18 21 22 25 26
étape12345périple
distance56 50 53 52 51262
vitesse18 20 22 26 27


périple maximum:
étape12345périple
distance96 98 97 92 99 482
vitesse18 21 22 24 27



merci Littleguy

Posté par
Chatof
re : Balade à vélo 27-01-17 à 12:45

perdupériple minimum:

étape12345périple
distance50 56 53 52 51262
vitesse 18 21 22 24 2722
étape12345périple
distance51 50 53 52 56 262
vitesse18 20 22 24 2822
étape12345périple
distance51 56 53 50 52262
vitesse 18 21 22 25 2622
étape12345périple
distance56 50 53 52 51262
vitesse18 20 22 26 2722


périple maximum:
étape12345périple
distance96 98 97 92 99 482
vitesse18 21 22 24 2722


(oubli de la case "22")
merci Littleguy

Posté par
littleguy Posteur d'énigmes
re : Balade à vélo 01-02-17 à 10:46

Clôture de l'énigme. Et comme à l'accoutumée un grand merci à Nicolas_75 pour ses analyses à la fois bienveillantes, inspirées et approfondies.

> dpi
Le texte précisait « exactement 22km/h ». Je sais bien qu'on pourrait arguer qu'il s'agit d'une situation concrète et donc que le « exact » n'est jamais atteint (mais alors c'est tout l'habillage de l'énigme qui est à rejeter),  et en l'occurrence, sans obtenir exactement 22 , on pouvait faire mieux que 265 et avec une meilleure approximation, par exemple :

Ta réponse :
Balade à vélo

Mieux et plus précis :
Balade à vélo

> LittleFox

Je n'ai pas compris ton argument. Tu écris : « la distance totale maximale est donnée quand on prend les 5 valeurs maximales pour les distances et celle minimale quand on prend celles minimales. Peut importe les vitesse. ».
Si dans tes tableaux on prend comme vitesses 18,19,20,21,22 pour les étapes je ne vois pas comment on peut avoir 22 de moyenne pour le périple. Peut-être ma formulation de la situation était-elle ambiguë…

> Cpierre60

Il y avait cinq étapes, et non quatre.


Un grand merci à tous.

Posté par
dpi
re : Balade à vélo 01-02-17 à 18:19

perduBonsoir,
Poisson doublement mérité et donc dégusté avec une bonne mayonnaise.

Posté par
Cpierre60
re : Balade à vélo 02-02-17 à 18:35

perduBonsoir,
A dpi (en particulier),
Et que penser de mon poisson ?
Qui pourra me dire pourquoi j'ai voulu qu'il n'y ait que 4 étapes ?
Sénilité, quand tu nous tiens.....

Posté par
derny
re : Balade à vélo 02-02-17 à 23:32

perduBonsoir.  Quand on ne relit pas l'énoncé ...
J'ai une ligne de trop dans mon programme qui donne une contrainte supplémentaire : celle d'avoir un temps total entier.

Posté par
dpi
re : Balade à vélo 03-02-17 à 13:20

perdu>Cpierre60

Le coup de la colonne cachée m'est arrivé il y a quelque temps ,je compatis.

Posté par
derny
re : Balade à vélo 03-02-17 à 21:47

perduBonsoir. Il est étonnant que toutes les bonnes réponses soient les mêmes alors qu'il y a d'autres solutions.

Posté par
trapangle
re : Balade à vélo 04-02-17 à 11:11

gagnéBonjour,

> derny
En résolvant l'énigme, je n'avais cherché qu'une solution pour chaque extremum, ta remarque a piqué ma curiosité et j'ai cherché d'autres solutions mais je n'en ai pas trouvé. Avec une approche informatique, certaines autres possibilités peuvent apparaître (en fonction de la précision des calculs) mais en regroupant les fractions on se rend compte que ce ne sont pas des solutions exactes.  Exemple :

\frac{60}{19}+\frac{53}{20}+\frac{52}{23}+\frac{56}{24}+\frac{51}{26}=\frac{4214269}{340860}=\frac{46356959}{3749460}\neq\frac{46356960}{3749460}=\frac{272}{22} soit une différence de 3*10-7

As-tu trouvé une autre solution exacte ? Si c'est le cas ça m'intéresse.

Posté par
derny
re : Balade à vélo 04-02-17 à 13:21

perduBonjour. Mon programme me donne également les 2 solutions suivantes pour la distance minimum (je n'ai pas vérifié la dernière).

Balade à vélo

Posté par
trapangle
re : Balade à vélo 04-02-17 à 13:40

gagnéIl me semble qu'une des affirmations de l'énoncé n'est pas respectée :

littleguy @ 11-01-2017 à 11:10


La première étape a été la plus longue

Posté par
derny
re : Balade à vélo 04-02-17 à 14:13

perduExact, c'est mon "principal" défaut : je ne relis pas assez l'énoncé. Il faut dire que je prends souvent les énigmes en marche après plusieurs jours et que je n'ai pas souvent du temps donc je ne joue pas la victoire. Ceci dit, pour ceux qui jouent la victoire, ce n'est pas facile car il faut faire vite ... et bien !

Posté par
trapangle
re : Balade à vélo 04-02-17 à 14:54

gagnéPas de bol...perso, c'est vrai que je prends beaucoup de temps pour relire plusieurs fois l'énoncé, vérifier qu'il n'y a qu'une seule façon de le comprendre et quand j'ai une solution, relire l'énoncé pour voir si tout fonctionne.

Posté par
derny
re : Balade à vélo 04-02-17 à 15:13

perduCeci dit, mon programme me donne également d'autres (bonnes) solutions pour 473.

Balade à vélo

Posté par
trapangle
re : Balade à vélo 04-02-17 à 15:16

gagné

littleguy @ 11-01-2017 à 11:10

Et la dernière [étape] a été la plus courte


Posté par
derny
re : Balade à vélo 04-02-17 à 21:41

perduBien sûr, c'ést juste pour dire que mon programme avait d'une part une ligne de trop et d'autre part une ligne de moins (si j'avais relu l'énoncé).
Donc, effectivement une seule solution.

Posté par
LittleFox
re : Balade à vélo 07-02-17 à 08:52

perdu> LittleGuy

J'ai pris la moyenne arithmétique des vitesses. Ce qui n'a pas vraiment de sens physique, ... Du coup le calcul des vitesses et celui des distances était indépendants. Mais bien entendu on ne peut pas choisir n'importe quelle vitesse. Ce que je veux dire c'est que ces vitesses n'influences pas les distances.

Posté par
lake
re : Balade à vélo 07-02-17 à 15:54

Bonjour à tous,

Je suis curieux:

Quelqu' un a-t-il résolu proprement cette énigme sans programme ?

Posté par
trapangle
re : Balade à vélo 15-02-17 à 22:35

gagné

Bonsoir,

J'avais essayé de résoudre cette énigme sur papier puis j'avais un peu laissé tomber mais comme lake était demandeur, je m'y suis replongé.

Je ne suis pas sûr que ça ait la propreté demandée, mais je prouve ci-dessous que 473 km est bien la distance maximale parcourue lors du périple.

D'abord il me faut ceci :
Soient \frac{a}{b}, \frac{c}{d} et \frac{e}{f} des fractions positives réduites (donc a, b, c, d, e, f sont des entiers naturels non nuls tels que a et b sont premiers entre eux, c et d sont premiers entre eux et e et f sont premiers entre eux) et qu'on ait :

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{e}{f}
Alors b et d sont des diviseurs de f.  
Ça a l'air intuitif comme ça, mais je l'ai prouvé pour en être sûr.

Preuve : de deux choses l'une, soit b et d sont premiers entre eux, soit ils ont un diviseur commun.
Premier cas : b et d sont premiers entre eux
Alors

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}
La fraction du résultat ne peut pas être réduite parce que les couples a et b, c et d ainsi que b et d sont premiers entre eux. Donc bd = f, b et d sont bien des diviseurs de f.

Deuxième cas : b et d ont un diviseur commun : b=k.g et d=l.g, avec g leur pgcd
Alors

\frac{a}{kg} + \frac{c}{lg} = \frac{al+ck}{klg}
La fraction du résultat ne peut pas être réduite parce que les couples a et k, a et g, k et l, c et l ainsi que c et g sont premiers entre eux. Donc b et d sont bien des diviseurs de f.

_________________________________________________________________________________________________________________________

Retour à l'énigme : pour prouver que 473 km est bien la distance maximale parcourue lors du périple, il faut montrer qu'il n'y a pas de solution avec une distance supérieure à 473 km. La distance minimale sur une étape à prendre en compte est alors 83 km. En effet : 473 = 99 + 98 + 97 + 96 + 83. Une étape de 82 km ou moins conduit forcément à une distance totale inférieure à 473 km. On limite alors les calculs aux étapes d'au moins 83 km.

On doit avoir :

\frac{d_{1}}{v_{1}}+\frac{d_{2}}{v_{2}}+\frac{d_{3}}{v_{3}}+\frac{d_{4}}{v_{4}}+\frac{d_{5}}{v_{5}} = \frac{d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}+d_{5}}{22}

Le membre de gauche, après réduction des fractions, devient :

\sum_{i=1}^{5}{\frac{d'_{i}}{v'_{i}}}

Après regroupement des fractions de même dénominateur, et éventuellement encore d'autres réductions et regroupements, ça devient :

\sum{\frac{d''_{i}}{v''_{i}}}

La somme comprenant entre 1 et 5 termes, les d''_{i} et les v''_{i} étant premiers entre eux pour chaque i et les v''_{i} étant tous différents (l'un d'entre eux peut valoir 1, de sorte que la fraction dont il est le dénominateur n'est pas une fraction, mais un entier naturel).

Alors, grâce à la propriété démontrée au début, les v''_{i} doivent appartenir à l'ensemble {1, 2, 11, 22}, soit les diviseurs de 22, dénominateur du membre de droite.

En revenant aux fractions \frac{d'_{i}}{v'_{i}}, on voit que les v'_{i} doivent appartenir à l'ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 22}. En effet, les autres dénominateurs ne sont diviseurs que d'un nombre entre 18 et 30, donc ils ne peuvent pas disparaitre par regroupement et la propriété du début dit qu'ils devraient appartenir aux diviseurs de 22. De plus, il n'y a qu'une vitesse multiple de 11 km/h et toutes les vitesses sont différentes, donc 11 et 22 sont mutuellement exclusifs : on ne peut en avoir qu'un des deux.

On peut faire un tableau des \frac{d'_{i}}{v'_{i}} possibles en fonction des d_{i} et des v_{i} (en espérant que le lien soit bien fait et que l'image apparaisse bien ici, sinon j'espère qu'elle sera en bas du message) :
Balade à vélo

Une étape de 83 à 89 km serait forcément la plus courte du périple, donc la plus rapide, donc sa vitesse doit être supérieure à 22 km/h, c'est pourquoi la zone de 83 à 89 et 18 à 22 n'est pas remplie. De même, la colonne 99 n'est remplie que de 18 à 21. Les autres cases qui ne sont pas remplies ont un v'_{i} qui n'appartient pas à {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 22}, donc inutilisable pour nous. Chaque couleur des cases remplies correspond à un même dénominateur.

On a aussi une autre propriété : la distance totale, sauf si elle est un multiple de 11, doit être :
- soit congrue modulo 22 à la longueur de l'étape effectuée à 22 km/h,
- soit congrue modulo 22 à cette même longueur plus 11 (dans ce cas il y a aussi un multiple impair de \frac{1}{2} dans les \frac{d''_{i}}{v''_{i}}).

Il ne reste plus qu'à éliminer toutes les distances totales une par une jusqu'à 473 km :

Les distances 485, 484 et 483 sont impossibles car elles utilisent une fraction \frac{97}{22} (c'est la seule dans la colonne 97 du tableau), donc la distance totale modulo 22 devrait être égale à 9 ou 20, or on a 1, 0 et 21.

482 mod 22 = 20, donc on doit avoir \frac{97}{22} et un multiple impair de \frac{1}{2}. En tenant seulement compte des distances, on peut avoir 99+98+97+96+92 ou bien 99+98+97+95+93.
Pour 99+98+97+96+92, la colonne 92 devrait combiner \frac{23}{7} avec le \frac{33}{7} de la colonne 99 pour faire un nombre entier, le multiple impair de demi ne pourrait plus être obtenu avec les colonnes 98 et 96.      (1)
Toujours pour 99+98+97+96+92, la colonne 92 pourrait aussi fournir \frac{23}{6}, mais toutes les autres vitesses devraient alors être inférieures à 24, dans la colonne 96 il n'y aurait que \frac{16}{3}, qui éliminerait le \frac{11}{2} de la colonne 99, qui ne pourrait alors plus être utilisée.   (2)
Pour 99+98+97+95+93, en utilisant le \frac{31}{10} de la colonne 93, on ne pourrait le combiner qu'avec le \frac{49}{10} de la colonne 98, ce qui conduirait à une solution potentielle qui ne fonctionne pas :    (3)
\frac{11}{2} + \frac{49}{10} + \frac{97}{22} + 5 + \frac{31}{10} = \frac{504}{22} \neq \frac{482}{22}
Pour 99+98+97+95+93, on pourrait aussi utiliser le \frac{31}{9} de la colonne 93, auquel on ne pourrait associer que le \frac{49}{9}, mais après regroupement et réduction, on a toujours une fraction avec un 9 au dénominateur.     (4)

481 mod 22 = 19, donc on doit avoir \frac{96}{22} et un multiple impair de \frac{1}{2}. La distance 97 n'est plus utilisable, vu que le 22 km/h est déjà pris. On ne pourrait faire que 99+98+96+95+93, qu'on élimine avec le même raisonnement que (3) et (4) ci-dessus.

480 mod 22 = 18, donc on doit avoir \frac{95}{22} et un multiple impair de \frac{1}{2}. On ne pourrait faire que 99+98+96+95+92, qu'on élimine avec le même raisonnement que (1) et (2) ci-dessus.

479 mod 22 = 17, donc on doit avoir \frac{94}{22} et un multiple impair de \frac{1}{2}. On pourrait faire 99+98+96+94+92 ou 99+98+95+94+93, qu'on élimine avec les mêmes raisonnements que ci-dessus.

478 mod 22 = 16, donc on doit avoir \frac{93}{22} et un multiple impair de \frac{1}{2}. On pourrait faire 99+98+96+93+92, qu'on élimine avec les mêmes raisonnement que (1) et (2) ci-dessus.

Pour 477, 476 et 475, le modulo 22 fait en sorte que la distance la plus courte (et donc la plus rapide) est réalisée à 22 km/h. Dans ce cas la moyenne générale est forcément inférieure à 22 km/h.

474 mod 22 = 12, qui ne pourrait fonctionner qu'avec \frac{89}{22}, indisponible dans le tableau.

473 mod 22 = 11, dans ce cas on ne doit pas nécessairement avoir une étape à 22 km/h. On trouve une solution
\frac{11}{2} + 4 + \frac{19}{4} + 4 + \frac{13}{4} = \frac{43}{2} = \frac{473}{22}.

Bon, personne n'a plus simple que ça ?

Balade à vélo

Posté par
dpi
re : Balade à vélo 16-02-17 à 08:48

perduQuel courage

Posté par
lake
re : Balade à vélo 16-02-17 à 13:21

Merci trapangle, tu t' es donné beaucoup de mal  

Je n' ai pas le temps en ce moment mais j' examinerai plus tard ton message avec attention

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 11
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4 7

Temps de réponse moyen : 92:02:00.
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