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Balade à vélo
Bonjour,
L'été dernier j'ai effectué un petit périple à bicyclette sur cinq étapes.
Certains détails m'ont marqué :
- Les étapes ont été de longueurs toutes différentes, et sur chaque étape j'ai roulé à une vitesse moyenne différente.
- La première étape a été la plus longue (mais moins de 100km) et celle pour laquelle ma vitesse moyenne a été la plus faible. Et la dernière a été la plus courte (mais au moins 50km) et celle sur laquelle ma vitesse moyenne a été la plus élevée. D'ailleurs au fil des étapes j'ai roulé de plus en plus vite.
- Chaque étape avait un nombre entier de kilomètres, ma vitesse moyenne sur chacune de ces étapes en km/h s'exprimait aussi par un nombre entier et ma vitesse moyenne globale sur le périple a été exactement 22km/h.
- Dans aucune étape je n'ai réalisé une moyenne au-dessous de 18km/h ni au-dessus de 30km/h.
Je ne me rappelle pas du tout le nombre total de kilomètres parcourus mais j'aimerais en avoir une idée.
A partir des données précédentes quels sont à votre avis le minimum et le maximum de ce nombre de kilomètres ? Pour chacun d'eux il est demandé de détailler les différentes étapes (distances et vitesse).
Par exemple vous pourrez pour chaque extremum présenter vos conclusions sous cette forme :
Bonne balade ! 
Bonjour,
J'ai pris l'hypothèse que la vitesse moyenne globale sur le périple était le quotient de la distance totale parcourue divisée par le temps total passé à rouler. Ça aurait aussi pu être la moyenne arithmétique des vitesses moyennes des 5 étapes (qui n'a pas de sens physique), mais il me semble que l'énoncé favorise le premier calcul.
Je trouve (grâce à un programme) que le nombre total de kilomètres parcourus est compris entre 272 et 473 km.
Pour le minimum:
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance (km) | 62 | 57 | 52 | 51 | 50 | 272 |
| vitesse (km/h) | 18 | 19 | 22 | 27 | 30 | 22 |
Pour le maximum :
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance (km) | 99 | 95 | 92 | 96 | 91 | 473 |
| vitesse (km/h) | 18 | 20 | 23 | 24 | 28 | 22 |
Maintenant je vais essayer de la résoudre avec seulement papier et bic, ça n'a pas l'air évident...
Merci littleguy pour toutes tes énigmes
Merci pour l'énigme ..
Le plus petit parcours possible fait 272 km.
Le plus grand parcours possible fait 473 km.
Les détails "distance/vitesse" de la première à la dernière étape :
distances : 62 57 52 51 50 272
vitesses : 18 19 22 27 30 22
distances : 99 95 92 96 91 473
vitesses : 18 20 23 24 28 22
Drôle d'énigme, je ne vois pas de contraintes qui lient les distances et les vitesses moyennes. Donc pour moi la distance totale maximale est donnée quand on prend les 5 valeurs maximales pour les distances et celle minimale quand on prend celles minimales. Peut importe les vitesse.
Distance maximale :
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 99 | 98 | 97 | 96 | 95 | 485 |
| vitesse | 18 | 19 | 20 | 23 | 30 | 22 |
Distance minimale :
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 54 | 53 | 52 | 51 | 50 | 260 |
| vitesse | 18 | 19 | 20 | 23 | 30 | 22 |
Ce qui laisse pas mal d'incertitude sur la distance réellement parcourue
Bonjour à tous.
Distance minimum : 418 km
| Etape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Périple |
| Distance | 90 | 86 | 84 | 80 | 78 | 418 |
| Vitesse | 18 | 20 | 24 | 25 | 26 | 22 |
Distance maximum : 462 km
| Etape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Périple |
| Distance | 99 | 95 | 96 | 91 | 81 | 462 |
| Vitesse | 18 | 19 | 24 | 26 | 27 | 22 |
Merci pour l'énigme
Suite pour l'honneur:
Dans ma réponse précédente j'ai privilégié le maxi et le mini ,mais si la
précision excluait toute décimale même lointaine...
La réponse serait:
Maxi 95 84 77 60 58 = 374
moyenne 19 21 22 24 29 =22
Mini 76 70 66 60 58 = 330
moyenne 19 20 22 24 29 =22
périple minimum:
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 50 | 56 | 53 | 52 | 51 | 262 |
| vitesse | 18 | 21 | 22 | 24 | 27 | |
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 51 | 50 | 53 | 52 | 56 | 262 |
| vitesse | 18 | 20 | 22 | 24 | 28 | |
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 51 | 56 | 53 | 50 | 52 | 262 |
| vitesse | 18 | 21 | 22 | 25 | 26 | |
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 56 | 50 | 53 | 52 | 51 | 262 |
| vitesse | 18 | 20 | 22 | 26 | 27 |
périple maximum:
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 96 | 98 | 97 | 92 | 99 | 482 |
| vitesse | 18 | 21 | 22 | 24 | 27 |
merci Littleguy
périple minimum:
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 50 | 56 | 53 | 52 | 51 | 262 |
| vitesse | 18 | 21 | 22 | 24 | 27 | 22 |
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 51 | 50 | 53 | 52 | 56 | 262 |
| vitesse | 18 | 20 | 22 | 24 | 28 | 22 |
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 51 | 56 | 53 | 50 | 52 | 262 |
| vitesse | 18 | 21 | 22 | 25 | 26 | 22 |
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 56 | 50 | 53 | 52 | 51 | 262 |
| vitesse | 18 | 20 | 22 | 26 | 27 | 22 |
périple maximum:
| étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | périple |
| distance | 96 | 98 | 97 | 92 | 99 | 482 |
| vitesse | 18 | 21 | 22 | 24 | 27 | 22 |
(oubli de la case "22")
merci Littleguy
Clôture de l'énigme. Et comme à l'accoutumée un grand merci à Nicolas_75 pour ses analyses à la fois bienveillantes, inspirées et approfondies.
> dpi
Le texte précisait « exactement 22km/h ». Je sais bien qu'on pourrait arguer qu'il s'agit d'une situation concrète et donc que le « exact » n'est jamais atteint (mais alors c'est tout l'habillage de l'énigme qui est à rejeter), et en l'occurrence, sans obtenir exactement 22 , on pouvait faire mieux que 265 et avec une meilleure approximation, par exemple :
Ta réponse :
Mieux et plus précis :
> LittleFox
Je n'ai pas compris ton argument. Tu écris : « la distance totale maximale est donnée quand on prend les 5 valeurs maximales pour les distances et celle minimale quand on prend celles minimales. Peut importe les vitesse. ».
Si dans tes tableaux on prend comme vitesses 18,19,20,21,22 pour les étapes je ne vois pas comment on peut avoir 22 de moyenne pour le périple. Peut-être ma formulation de la situation était-elle ambiguë…
> Cpierre60
Il y avait cinq étapes, et non quatre. 
Un grand merci à tous. 
Bonsoir,
A dpi (en particulier),
Et que penser de mon poisson ?
Qui pourra me dire pourquoi j'ai voulu qu'il n'y ait que 4 étapes ?
Sénilité, quand tu nous tiens.....
Bonsoir. Quand on ne relit pas l'énoncé ...
J'ai une ligne de trop dans mon programme qui donne une contrainte supplémentaire : celle d'avoir un temps total entier.
Bonsoir. Il est étonnant que toutes les bonnes réponses soient les mêmes alors qu'il y a d'autres solutions.
Bonjour,
> derny
En résolvant l'énigme, je n'avais cherché qu'une solution pour chaque extremum, ta remarque a piqué ma curiosité et j'ai cherché d'autres solutions mais je n'en ai pas trouvé. Avec une approche informatique, certaines autres possibilités peuvent apparaître (en fonction de la précision des calculs) mais en regroupant les fractions on se rend compte que ce ne sont pas des solutions exactes. Exemple :
soit une différence de 3*10-7
As-tu trouvé une autre solution exacte ? Si c'est le cas ça m'intéresse.
Bonjour. Mon programme me donne également les 2 solutions suivantes pour la distance minimum (je n'ai pas vérifié la dernière).
Il me semble qu'une des affirmations de l'énoncé n'est pas respectée :
La première étape a été la plus longue
Exact, c'est mon "principal" défaut : je ne relis pas assez l'énoncé. Il faut dire que je prends souvent les énigmes en marche après plusieurs jours et que je n'ai pas souvent du temps donc je ne joue pas la victoire. Ceci dit, pour ceux qui jouent la victoire, ce n'est pas facile car il faut faire vite ... et bien !
Pas de bol...perso, c'est vrai que je prends beaucoup de temps pour relire plusieurs fois l'énoncé, vérifier qu'il n'y a qu'une seule façon de le comprendre et quand j'ai une solution, relire l'énoncé pour voir si tout fonctionne.
Bien sûr, c'ést juste pour dire que mon programme avait d'une part une ligne de trop et d'autre part une ligne de moins (si j'avais relu l'énoncé).
Donc, effectivement une seule solution.
> LittleGuy
J'ai pris la moyenne arithmétique des vitesses. Ce qui n'a pas vraiment de sens physique, ...
Du coup le calcul des vitesses et celui des distances était indépendants. Mais bien entendu on ne peut pas choisir n'importe quelle vitesse. Ce que je veux dire c'est que ces vitesses n'influences pas les distances.
J'avais essayé de résoudre cette énigme sur papier puis j'avais un peu laissé tomber mais comme lake était demandeur, je m'y suis replongé.
Je ne suis pas sûr que ça ait la propreté demandée, mais je prouve ci-dessous que 473 km est bien la distance maximale parcourue lors du périple.
D'abord il me faut ceci :
Soient
Alors b et d sont des diviseurs de f.
Ça a l'air intuitif comme ça, mais je l'ai prouvé pour en être sûr.
Preuve : de deux choses l'une, soit b et d sont premiers entre eux, soit ils ont un diviseur commun.
Premier cas : b et d sont premiers entre eux
Alors
La fraction du résultat ne peut pas être réduite parce que les couples a et b, c et d ainsi que b et d sont premiers entre eux. Donc bd = f, b et d sont bien des diviseurs de f.
Deuxième cas : b et d ont un diviseur commun : b=k.g et d=l.g, avec g leur pgcd
Alors
La fraction du résultat ne peut pas être réduite parce que les couples a et k, a et g, k et l, c et l ainsi que c et g sont premiers entre eux. Donc b et d sont bien des diviseurs de f.
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Retour à l'énigme : pour prouver que 473 km est bien la distance maximale parcourue lors du périple, il faut montrer qu'il n'y a pas de solution avec une distance supérieure à 473 km. La distance minimale sur une étape à prendre en compte est alors 83 km. En effet : 473 = 99 + 98 + 97 + 96 + 83. Une étape de 82 km ou moins conduit forcément à une distance totale inférieure à 473 km. On limite alors les calculs aux étapes d'au moins 83 km.
On doit avoir :
Le membre de gauche, après réduction des fractions, devient :
Après regroupement des fractions de même dénominateur, et éventuellement encore d'autres réductions et regroupements, ça devient :
La somme comprenant entre 1 et 5 termes, les
Alors, grâce à la propriété démontrée au début, les
En revenant aux fractions
On peut faire un tableau des
Une étape de 83 à 89 km serait forcément la plus courte du périple, donc la plus rapide, donc sa vitesse doit être supérieure à 22 km/h, c'est pourquoi la zone de 83 à 89 et 18 à 22 n'est pas remplie. De même, la colonne 99 n'est remplie que de 18 à 21. Les autres cases qui ne sont pas remplies ont un
On a aussi une autre propriété : la distance totale, sauf si elle est un multiple de 11, doit être :
- soit congrue modulo 22 à la longueur de l'étape effectuée à 22 km/h,
- soit congrue modulo 22 à cette même longueur plus 11 (dans ce cas il y a aussi un multiple impair de
Il ne reste plus qu'à éliminer toutes les distances totales une par une jusqu'à 473 km :
Les distances 485, 484 et 483 sont impossibles car elles utilisent une fraction
482 mod 22 = 20, donc on doit avoir
Pour 99+98+97+96+92, la colonne 92 devrait combiner
Toujours pour 99+98+97+96+92, la colonne 92 pourrait aussi fournir
Pour 99+98+97+95+93, en utilisant le
Pour 99+98+97+95+93, on pourrait aussi utiliser le
481 mod 22 = 19, donc on doit avoir
480 mod 22 = 18, donc on doit avoir
479 mod 22 = 17, donc on doit avoir
478 mod 22 = 16, donc on doit avoir
Pour 477, 476 et 475, le modulo 22 fait en sorte que la distance la plus courte (et donc la plus rapide) est réalisée à 22 km/h. Dans ce cas la moyenne générale est forcément inférieure à 22 km/h.
474 mod 22 = 12, qui ne pourrait fonctionner qu'avec
473 mod 22 = 11, dans ce cas on ne doit pas nécessairement avoir une étape à 22 km/h. On trouve une solution
Bon, personne n'a plus simple que ça ?
Nombre de participations : 11
36,36 %63,64 %
7Temps de réponse moyen : 92:02:00.
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