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Barycentre 11

Posté par
Samsco 18-09-20 à 23:26

Bonjour , j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice:

Soit ABC un triangle. Sur la droite (BC) , on choisit un point M distinct de B et C.
On lui associe le point N de la droite (AB) tel que:

\vec{AN}=\dfrac{\bar{MC}}{\bar{BC}+\bar{MC}}\vec{AB}

Et le point P de la droite (AC) tel que:

\vec{AP}=\dfrac{\bar{BM}}{\bar{BC}+\bar{BM}}\vec{AC}

1- Verifier que:
a) M est le barycentre de (B~,~\bar{MC}) et (C~,~\bar{BM}).
b) N est le barycentre de (A~,~\bar{BC}) et (B~,~\bar{MC})
c) P est le barycentre de (A~,~\bar{BC}) et (C~,~\bar{BM})

2-Démontrer que les droites (AM) , (BP) et (CN) concourent en un point G que l'on déterminera.

3- Déterminer le lieu des points G lorsque le point M décrit la droite (BC).

Reponses:

1-a)

1-b)

\vec{AN}=\dfrac{\bar{MC}}{\bar{BC}+\bar{MC}}\vec{AB} \iff N=bar(A , \bar{BC}),(B , \bar{MC}) \\ \\ 1-c) \\ \vec{AP}=\dfrac{\bar{BM}}{\bar{BC}+\bar{BM}}\vec{AC}\iff P=bar{(A , \bar{BC}), (C , \bar{BM})

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 19-09-20 à 10:17

1-a)
M est sur la droite (BC),
tu peux donc écrire une relation de colinéarité
entre les vecteurs MB et MC.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 19-09-20 à 10:21

\vec{MB}=k\vec{MC}~,k \in \mathbb{R^*}

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 19-09-20 à 14:40

Oui.
On cherche k.
De cette relation vectorielle, déduis-en une relation en distances algébriques.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 19-09-20 à 15:11

\bar{MB}=k\bar{MC}

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 20-09-20 à 09:28

d'où k = ...
valeur à réintroduire dans la relation vectorielle précédente.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 20-09-20 à 14:17

k=\dfrac{\bar{MB}}{\bar{MC}} \\ \\ \vec{MB}=\dfrac{\bar{MB}}{\bar{MC}}\vec{MC} \\ \\ \bar{MC}\times\vec{MB}-\bar{MC}\times\vec{MC}=\vec{0}

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 21-09-20 à 07:45

d'où la relation barycentrique attendue.
Mais il y a une erreur dans ce que tu as recopié en dernière ligne.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 21-09-20 à 16:07

Samsco @ 20-09-2020 à 14:17

k=\dfrac{\bar{MB}}{\bar{MC}} \\ \\ \vec{MB}=\dfrac{\bar{MB}}{\bar{MC}}\vec{MC} \\ \\ \bar{MC}\times\vec{MB}-\bar{{\red{MB}}}\times\vec{MC}=\vec{0}


La relation barycentrique attendue est :

\bar{MC}\times\vec{MB}+\bar{MB}\times\vec{MC}=\vec{0}

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 21-09-20 à 20:55

Dans l'esprit, c'est ça.
Toutefois, il y a une erreur de signe dans l'expression finale.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 21-09-20 à 21:01

Ah je vois

Samsco @ 20-09-2020 à 14:17

k=\dfrac{\bar{MB}}{\bar{MC}} \\ \\ \vec{MB}=\dfrac{\bar{MB}}{\bar{MC}}\vec{MC} \\ \\ \bar{MC}\times\vec{MB}-\bar{{\red{MB}}}\times\vec{MC}=\vec{0} \\ \\ \iff\bar{MC}\times\vec{MB}+\bar{BM}\times\vec{MC}=\vec{0}

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 21-09-20 à 21:03

C'est ça.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 21-09-20 à 21:09

2-

Soit G le barycentre des points ( A , \bar{BC}) , (B , \bar{MC}) et (C , \bar{BM})

On a : G=bar{(A , \bar{BC}) , (M , \bar{MC}+\bar{BM})}
G appartient à (AM)

G=bar{(B , \bar{MC}) , (P , \bar{BC}+\bar{BM})}
G appartient à (BP)

G=bar{(C , \bar{BM}) , (N , \bar{BC}+\bar{MC})}
G appartient à (CN)

Donc les droites (AM) , (BP) et (CN) sont concourantes en G.

3-

Je ne sais pas quoi faire

Posté par
Samscore : Barycentre 11 21-09-20 à 21:24

3-

G=bar{(A , BC) , (M , MC+BM)}

AG=(MC+BM)/(BC+MC+BM)AM
(en vecteurs)

Lorsque M décrit (BC) , G appartient a (AM)

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 21-09-20 à 21:46

Si

Citation :
G=bar{(A , BC) , (M , MC+BM)}

Que vaut \bar{MC}+\bar{BM} ?

Posté par
Samscore : Barycentre 11 21-09-20 à 22:26

MC+BM=-CM-MB=-(CM+MB)=BC

G=bar{(A , BC) , (M , BC)}

G est milieu du segment [AM]

Quand M decrit (BC) , G est le milieu de [AM].

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 22-09-20 à 08:11

Citation :
G est milieu du segment [AM]

IOui.
Citation :
Quand M decrit (BC) , G est le milieu de [AM].

Ca c'est sur, mais cela ne répond pas à la question.
Prends plusieurs M le long de (BC), trace G.
Quel est l'ensemble de ces points G ?

Posté par
Samscore : Barycentre 11 22-09-20 à 15:43

Quand je trace les points G pour chaque point M , l'ensemble que j'obtiens est droite qui a l'air parallèle à (BC).

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 22-09-20 à 19:50

Elle n'a pas seulement l'air.
Thales pour t'aider à conclure.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 22-09-20 à 20:57

pgeod @ 22-09-2020 à 19:50

Elle n'a pas seulement l'air.
Thales pour t'aider à conclure.


Je ne vois pas comment je peux appliquer Tales ici.

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 22-09-20 à 21:14

Propriété de la droite des milieux si tu préfères.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 22-09-20 à 22:25

La droite formée par l'ensemble des points G passe par les milieu des segments [AB] et [AC] ?

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 23-09-20 à 08:17

oui.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 23-09-20 à 17:25

pgeod @ 23-09-2020 à 08:17

oui.


Pourquoi , comment le savoir?

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 23-09-20 à 21:27

Citation :
Propriété: Dans un triangle si une droite passe par le milieu de deux cotés alors elle est parallèle au troisième coté.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 23-09-20 à 21:37

Oui oui , c'est le théorème des milieux , ma question était:
Qu'est ce qui montre que la droite e' question passe par les milieux de [AB] et [AC].

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 23-09-20 à 21:43

Pour un M1 donné, on a G1 milieu de [AM1]
Pour un M2 donné, on a G2 milieu de [AM2]
Dans le triangle AM1M2, la droite (G1G2) est droite des milieux
et donc (G1G2) // (BC)

Citation :
Qu'est ce qui montre que la droite e' question passe par les milieux de [AB] et [AC].

réciproque de Thalès

Posté par
Samscore : Barycentre 11 23-09-20 à 21:50

D'accord  , lorsque M décrit (BC) , l'ensemble des points G est la droite parallèle à (BC) passant par les milieux de [AB] et [AC]

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 23-09-20 à 21:53

excepté les point ...

Citation :
. Sur la droite (BC) , on choisit un point M distinct de B et C.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 23-09-20 à 21:56

Samsco @ 23-09-2020 à 21:50

D'accord  , lorsque M décrit (BC) excepté des points B et C, l'ensemble des points G est la droite parallèle à (BC) passant par les milieux de [AB] et [AC]

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 23-09-20 à 22:00

??
Si M ne peut être choisi en B, il ne peut y avoir un G qui est milieu de [AB]
Idem pour C.

Posté par
Samscore : Barycentre 11 23-09-20 à 22:10

Donc l'ensemble cherché est la droite parallèle à (BC) passant par I et J privée de I et J.

I: milieu de [AB]
J: milieu de [BC]

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 23-09-20 à 22:11

C'est ça.
A corriger : J milieu de [AC]

Posté par
Samscore : Barycentre 11 23-09-20 à 22:29

Ah d'accord merci !

Posté par
pgeodre : Barycentre 11 24-09-20 à 08:33


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