Niveau première

Barycentre

Posté par
sami-dh 09-12-07 à 18:03

Salut tout le monde
j'ai besoin de votre aide:
Considerons le triangle ABC tel que: BC=a AB=c AC=b et G le son barycentre.
Prouver que:
$\vec{GB}.\vec{GC} = \frac {1}{18}(b^2 + c^2 - 5a^2)$
Merci

Posté par re : Barycentre 15-06-11 à 05:32

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$
$3\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$
$9GB^{2}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right)^{2}=AB^{2}+CB^{2}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}$
$9GB^{2}=c^{2}+a^{2}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}$

De façon analogue, on trouve : $9GC^{2}=b^{2}+a^{2}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}$

Maintenant, on calcule :
$a^{2}=\left(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\right)^{2}=GB^{2}+GC^{2}-2\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$
$9a^{2}=9GB^{2}+9GC^{2}-18\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$

On remplace ensuite dans cette expression les valeurs de $9GB^{2}$ et $9GC^{2}$ calculées précédemment et en simplifiant, on trouve le résultat.

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