1°) Pour montrer que 3 points sont alignés il faut montrer que les vecteurs et (par exemple) sont colinéaires, ou encore il faut montrer qu'il existe a et b tels que F soit le barycentre de (G,a), (H,b).

Je choisis de la faire avec les barycentres partiels, mais tu peux aussi le faire en écrivant les égalités vectorielles.
E = bary{(A,-1),(B,2),(C,-3)}
G = bary{(A,1),(D,2)}
H = bary{(B,2),(C,-3)}
Déjà, grâce aux barycentres partiels on peut remarquer:
E = bary{(A,-1),(B,2),(C,-3)}
E = bary{(A,-1),(H,-1)}
E = bary{(A,1),(H,1)} (rq: E milieu de [AH])
F milieu de [ED] signifie : F = bary{(E,1),(D,1)}
soit encore: F = bary{(E,2),(D,2)}
J'utilise encore les barycentres partiels:
F = bary{(A,1),(H,1),(D,2)}
F = bary{(G,3),(H,1)}
ce qui se traduit par:

Soit encore:
Les points F,G et H sont donc alignés.

2°) il s'agit de montrer qu'il existe deux réels et tels que:

Or, on a montré précédemment que
et H = bary{(B,2),(C,-3)}
Donc:
Introduisons le point H dans cette relation, grâce à la relation de Chasles:

Soit:
Donc:

Donc

Et par conséquent les points F,G, B et C sont coplanaires.