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barycentre
svp g besion d'aide g quelques difficultés à faire un exercice.
On considère dans le plan :
-un triangle ABC.
-un point P distinct des point A,B,C.
-A’,B’,C’ milieux respectifs de [BC],[CA],[AB].
-A’’,B’’,C’’ les symétriques du point P respectivement par rapport aux point A’,B’,C’.
1)a- Montrer que A’’ est barycentre des points P et A’ munis de coefficients à déterminer.
b- Déduire que A’’ est le barycentre de (P,-1) ; (B,1) ; (C,1)
c- Donner les résultats analogues pour les points B’’ et C’’.
2)On considère le barycentre Q de (P,-1) ; (A,1) ; (B,1) ; (C,1).
a-Montrer que les droites (AA’’ ), (BB’’ ) et (CC’’ ) sont concourantes.
b-Préciser la position du point Q sur chacune des droites, puis construire ce point.
3)Construire le point G centre de gravité du triangle ABC.
a-Montrer que les points P,Q et G sont alignés.
b-Montrer que G est également le centre de gravité de A’B’C’.
1)a-
PA''=2PA'
PA''=2PA''+2A''A'
PA''-2PA''-2A''A'=0
-PA''-2A''A'=0
PA+2A''A'=0
-A''P+2A''A'=0
donc A'' barycentre de (P,-1) et (A',2)
1)b-
2A'C=BC
2A'C=BA'+A'C
2A'C-BA'-A'C=0
A'C-BA'=0
A'C+A'B=0
donc A barycentre de (B,1) et (C,1)
or dans la question 1)a- on a démontré que (P,1)
de plus, A'' barycentre de (P,-1) et (A',2)
Et, A' berycentre de (B,1) et (C,1) donc (A',2)
donc A'' barycentre de (P,-1) ; (B,1) et (C,1)
C'est les seul résultat que j'ai pu trouver seul.
c- Donner les résultats analogues pour les points B'' et C''.
B'' est le barycentre de (P,-1) ; (A,1) ; (C,1)
C'' est le barycentre de (P,-1) ; (A,1) ; (B,1)
a-Montrer que les droites (AA'' ), (BB'' ) et (CC'' ) sont concourantes.
Il suffit de montrer que Q appartient à ces 3 droites.
Indice :
Q = Barycentre (P,-1) ; (A,1) ; (B,1) ; (C,1) = Barycentre A,1 A'',1
b-Préciser la position du point Q sur chacune des droites, puis construire ce point
Q = Barycentre A,1 A'',1
donc Q est le ...
3)Construire le point G centre de gravité du triangle ABC.
a-Montrer que les points P,Q et G sont alignés.
Q = Barycentre (P,-1) ; (A,1) ; (B,1) ; (C,1)
or G = Barycentre A,1 B,1 C,1
Donc...
Sauf erreur.
Nicolas
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