salut, dans le repere (A,B,C):
1/ cherche les coordonnees des points M,N,P
2/ cherche les equations des 3 droites
3/ etc ...

salut

en reprenant l'idée d'alb12 ,

dans A,AB,AC      A à pour coordonnes (0,0),  B a pour coordonnées (1,0)  et C (0,1)

M est le barycentre des points B et C affectés de 5 et 6   implique que  

11.AM = 5.AB + 6.AC   et donc M a pour coordonnées M(5/11 , 6/11)

N le barycentre des points A et B affectés de de 2 et 5   implique que

7.AN = 2.AA + 5AB = 5.AB  et donc  N(5/7,0)

P le barycentre des points A et C affectés de 1 et 3 et donc

4.AP = AA + 3.AC    et donc P(0,3/4)


il faut ensuite trouver des droites de la forme  Y = AX + B

celle passant par A et M  est Y = 6X/5
celle passant par N et C est Y = -7X/5 + 1
celle passant par B et P est Y =-3X/4 + 3/4

sauf erreur elles se coupent toutes en I(15/39,18/39)