Bonjour,

Fais un schéma, place les points, détermine les milieux des segments
donne leur un nom, relie les milieux aux sommets respectifs opposés
écrits les égalités, en particulier celles des aires délimitées
par les segments reliant les sommets au barycentre

Bonjour,

de façon plus générale, la règle d'association des barycentres permet d'affirmer que si P = Bar(A_a; B_b; C_c) alors les aires des triangles PBC, PAC, PAB sont proportionnelles à a, b, c
en d'autres termes
P = Bar(A_PBC; B_PAC; C_PAB)

ceci se démontre avec la règle d'association :
soit M = Bar(A_a; B_b)
alors P = Bar(M_a+b; C_c)
ce qui prouve déja que P est sur la droite AM
et cela montre aussi que :

MA/MB = b/a (de )
et donc les aires de AMC et de BMC sont dans les rapports des bases MA et MB
il suffit alors de faire de même pour le rapport des aires de CPA et MPA qui sont dans le rapport des bases PC et PM
etc ...

avec a=b=c (centre de gravité) la relation de la question 1 tombe alors instantanément

Mais cette relation générale sur les barycentres va prendre tout son intérêt pour la question 2 (sinon je n'en aurais pas parlé car pour la question 1 on peut démonter directement avec les connaissances élémentaires sur le centre de gravité, voir post de Barney)
car les aires des triangles OAB, OBC et OAC sont dans des rapports faciles à calculer
(aire d'un triangle ABC = (1/2) AB.AC.sinA)

Enfin pour vérif des calculs je signale "l'encyclopédie des points remarquables" (Encyclopedia of Triangle Centers, ETC) qui donne les coordonnées barycentriques de tous les points remarquables d'un triangle (plusieurs milliers)
(chercher sur Internet)
le centre du cercle circonscrit est X(3) (les centres "classiques" sont dans les premiers de la liste)