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Barycentre 7

Posté par
Samsco
12-09-20 à 10:33

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Soit ABC un triangle . La bissectrice extérieure de l'angle  ( droite perpendiculaire à la bissectrice de l'angle Â) coupe la droite (BC) en K . La parallèle à (AK) passant par coupe (AB) en C'.

1- Démonter que le triangle ACC' est isocèle .

2- On pose : AB=c et AC=b.
Démonter que K=bar{(B , b) , (C , -c)}

Je ne sais pas comment monter que ACC' est isocèle.

Barycentre 7

Posté par
hekla
re : Barycentre 7 12-09-20 à 10:41

Bonjour

la bissectrice intérieure est aussi hauteur

Posté par
Samsco
re : Barycentre 7 12-09-20 à 17:47

Oui dans la triangle ACC' , la bissectrice est aussi hauteur donc ACC' est isocèle (AC'=AC) .

2- Considérons le triangle BAK

D'après Thalès :

\dfrac{BA}{BC'}=\dfrac{BK}{BC}
 \\ 
 \\ \iff \dfrac{KB}{KB-KC}=\dfrac{AB}{AB-AC'}
 \\ 
 \\ \iff \dfrac{KB-KC}{KB}=\dfrac{AB-AC}{AB}
 \\ 
 \\ \iff \dfrac{KC}{KB}=\dfrac{AC}{AB}
 \\ 
 \\ \iff \dfrac{KC}{KB}=\dfrac{b}{c}
 \\ 
 \\ \iff cKC=bKB

Posté par
hekla
re : Barycentre 7 12-09-20 à 18:04

Il est aussi simple de prendre directement

\dfrac{BC'}{BA}=\dfrac{BC}{BK}

On veut l'égalité en vecteurs

Posté par
Samsco
re : Barycentre 7 12-09-20 à 18:10

D'après Thalès :

\dfrac{BA}{BC'}=\dfrac{BK}{BC}
 \\ 
 \\ \iff \dfrac{KB}{KB-KC}=\dfrac{AB}{AB-AC'}
 \\ 
 \\ \iff \dfrac{KB-KC}{KB}=\dfrac{AB-AC}{AB}
 \\ 
 \\ \iff \dfrac{KC}{KB}=\dfrac{AC}{AB}
 \\ 
 \\ \iff \dfrac{KC}{KB}=\dfrac{b}{c}
 \\ 
 \\ \iff cKC=bKB
 \\ 
 \\ \iff cKC-bKB=0

Comme KB et KC ont même direction et même sens.

cKC-bKB=0
 \\ 
 \\ \iff c\vec{KC}-b\vec{KB}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff b\vec{KB}-c\vec{KC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ K=bar(B , b) , (C , -c)

Juste pour être sûr , si KC et KC avait même direction et des sens contraires alors

cKC-bKC=0
 \\ \iff c\vec{KC}{\red{+}}b\vec{KB}=\vec{0}

non?

Posté par
hekla
re : Barycentre 7 12-09-20 à 18:21

S'ils n'avaient pas la même direction les vecteurs ne seraient pas colinéaires

les vecteurs \vec{KB}  et \vec{KC}   sont colinéaires  les points K, C et B étant alignés dans cet ordre

il existe dont un réel \lambda  tq \vec{KB}=\lambda \vec{KC} et vous continuez  comme vous avez écrit

Posté par
Samsco
re : Barycentre 7 13-09-20 à 09:08

Donc \vec{KB}-\lambda \vec{KC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff b\vec{KB}-c\vec{KC}=\vec{0}

Posté par
hekla
re : Barycentre 7 13-09-20 à 10:24

Proposition

Puisque \dfrac{KC}{KB}=\dfrac{b}{c}\  \lambda)\dfrac{c}{b}

on a donc \vec{KB}=\dfrac{c}{b}\vec{KC} d'où b\vec{KB}-c\vec{KC}=\vec{0}

Il en résulte que K est le barycentre   de  etc

Ne mettez pas des équivalences partout  exemple

Citation :
cKC-bKB=0
 \\ 
 \\ \iff c\vec{KC}-b\vec{KB}=\vec{0}

Posté par
Samsco
re : Barycentre 7 13-09-20 à 23:10

hekla @ 13-09-2020 à 10:24

Proposition

Puisque {\blue{\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{b}{c}\  \lambda)\dfrac{c}{b}}}

on a donc {\blue{\vec{KB}=\dfrac{c}{b}\vec{KC} d'où b\vec{KB}-c\vec{KC}=\vec{0}}}

Il en résulte que K est le barycentre   de  etc


Je n'ai pas compris ce que vous avez fait .

Citation :
Ne mettez pas des équivalences partout  exemple


Ok

Posté par
hekla
re : Barycentre 7 13-09-20 à 23:17

Une proposition de rédaction

  Comme on avait avant ce rapport et qu'on a posé que \vec{KB}=\lambda\vec{KC} cela veut bien dire que \lambda = \dfrac{c}{b}

Posté par
Samsco
re : Barycentre 7 13-09-20 à 23:41

D'accord j'ai compris , merci !

Posté par
hekla
re : Barycentre 7 14-09-20 à 10:29

Il est vrai qu'il aurait été plus simple de poser \vec{KC}=\lambda \vec{KB}

on n'aurait pas été obligé de prendre l'inverse

De rien

Posté par
Samsco
re : Barycentre 7 14-09-20 à 18:40

\lambda est positif non ?

Et si K se trouvait entre les points B et C , \lambda serait négatif ?

Posté par
hekla
re : Barycentre 7 14-09-20 à 20:37

Bien sûr puisque les vecteurs auraient été de sens contraires

Posté par
Samsco
re : Barycentre 7 14-09-20 à 21:19

D'accord merci !



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