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Niveau première
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barycentre

Posté par
bijoux
28-07-16 à 02:04

bonjour, s'il vous plais j'ai besoin d'aide sur un exercice voici l'énoncé: le plan étant muni d'un repère (o;i, j),on considère les points A(1;4), B(-1;-1) et C(5;1), ainsi que les points I, J et G définis par: 3AI = AC,  BJ = 2/5BA, et JG = 1/6JC (tout en vecteur)

montrer que les points B, G et I sont alignés.

Posté par
mdr_non
re : barycentre 28-07-16 à 06:06

bonjour : )

Tu n'as pas vraiment de calculs à faire, juste à utiliser l'associativité du barycentre.

Exprime I comme barycentre des points A et C puis G comme barycentre des points A, B et C.
Tu pourras déduires que B, G et I sont alignés.

Posté par
alb12
re : barycentre 28-07-16 à 09:00

salut,
cherches-tu une demo de niveau premiere conforme au programme français ?

Posté par
Cherchell
re : barycentre 28-07-16 à 09:01

Le barycentre n'est plus au programme de première S donc peut-être que bijoux n'en a pas entendu parler.

En posant I(x ; y) comme 3 AI = AC tu peux trouver les coordonnées de chaque vecteur et en déduire celles de I

BJ = (2/5) BA idem pour J

JG = (1/6) JC Idem pour G une fois que tu connais les coordonnées de J.

Tu cherches les coordonnées de IJ et IG et tu démontres que les vecteurs sont colinéaires

Posté par
alb12
re : barycentre 28-07-16 à 09:06

que signifie niveau doctorat ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : barycentre 28-07-16 à 09:43

Une manière parmi plein d'autres :

vect(AC) = (4 ; -3)
vect(AI) = (1/3).vect(AC)
vect(AI) = (4/3 ; -1)

XI - XA = 4/3
YI - YA = -1

XI = 4/3 + 1 = 7/3
YI = -1 + 4 = 3

I(7/3 ; 3)
---
vect(BA) = (2 ; 5)
vect(BJ) = (2/5).vect(BA)
vect(BJ) = (4/5 ; 2)

XJ - XB = 4/5
YJ - YB = 2

XJ = 4/5 - 1 = -1/5
YB = 2 - 1 = 1

J(-1/5 ; 1)
---
vect(JC) = (26/5 ; 0)
1/6 vect(JC) = (13/15 ; 0)
vect(JG) = (13/15 ; 0)

XG - XJ = 13/15
YG - YJ = 0

XG = 13/15 - 1/5 = 2/3
YG = 1

G(2/3 ; 1)
----

Vect(BG) = (5/3 ; 2)

vect(BI) = (10/3 ; 4)

On a donc vect(BI) = 2 Vect(BG)

Les vecteurs BI et BG sont colinéaires et comme les droites (BI) et (BG) ont le point B en commun, elles sont confondues ...
Et donc les points B, G et I sont alignés.

Sauf distraction.  

Posté par
mdr_non
re : barycentre 28-07-16 à 11:15

3\vec{AI} = \vec{AC} \Longleftrightarrow 2\vec{AI} + \vec{CI} = \vec{0} \Longleftrightarrow I \text{ est le barycentre de } (A , 2) \text{ et } (C , 1).

\left\{\begin{matrix}\vec{BJ} = 2/5\vec{BA}
 \\ \vec{JG} = 1/6\vec{JC}\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow 3\vec{BG} + 2\vec{AG} + \vec{CG} = \vec{0} \Longleftrightarrow G \text{ est le barycentre de } (A , 2), \,(B , 3) \text{ et } (C , 1).

Par associativité, G est l'isobarycentre des points I et B d'où B, G et I sont alignés.

Posté par
carpediem
re : barycentre 28-07-16 à 13:00

salut

sans parler de barycentre qui ne sont plus au programme mais en m'inspirant du travail de mdr_non ...

REM : le calcule barycentre n'est que du calcul vectoriel !!! pour le quel la propriété fondamentale est la relation de Chasles ...

mdr_non @ 28-07-2016 à 11:15

3\vec{AI} = \vec{AC} \Longleftrightarrow 2\vec{AI} + \vec{CI} = \vec{0}

\left\{\begin{matrix}\vec{BJ} = 2/5\vec{BA}
 \\ \vec{JG} = 1/6\vec{JC}\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow 3\vec{BG} + 2\vec{AG} + \vec{CG} = \vec{0} <=> 3 \vec {BG} + 2( \vec {AI} + \vec {IG}) + \vec {CI} + \vec {IG} = \vec 0 <=> 3 \vec {BG} + 3 \vec {IG} = \vec 0


non seulement on conclut comme J-P mais en plus on en déduit que G est le milieu du segment [BI] (ce qu'on déduisait aussi de la relation de J-P ...)

Posté par
flight
re : barycentre 28-07-16 à 14:22

salut ..ou sinon avec :

3AI- AC = 0   ---> 2A = 3I - C
5BJ - 2BA = 0 ---> 3B = 5J - 2A
6JG - JC = 0 ---> 5J = 6G - C

une difference membre à membre en tre (1) et (3) donne
2A-5J = 3I-6G   on remplace ensuite 2A a partir de (2) ce qui donne 5J-3B-5J=3I-6G
il reste donc 3I+3B-6G=0   soit  I+B -2G= 0  ou  2G = I + B  G etant l'isobarycentre de(I,1) et (B,1) G se trouve au milieu de IB...sauf erreur  I ,B et G sont donc alignés

Posté par
alb12
re : barycentre 28-07-16 à 14:28

@bijoux
Precise le type de redaction que tu veux obtenir



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