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Barycentre

Posté par
tournaud
28-01-17 à 17:49

Bonsoir.De l'aide svp
Soit ABC un triangle .A'  un point de[ BC] , B'un point de [AC] et C'un point de [AB] .On suppose de les droites (AA'), (BB') et (CC')  sont concourantes en un point  G
Demontrer il exixte trois reels a, b et c tel que G soit barycentre de (A,a) ; (B,b) et (C,c)
Merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentre 28-01-17 à 18:06

Il manque quelque chose dans l'énoncé car pour n'importe quel point M du plan il existe trois réels a, b et c tel que M soit barycentre de (A,a) ; (B,b) et (C,c) .

Posté par
carpediem
re : Barycentre 28-01-17 à 18:08

salut

si A' est un point de la droite (BC) alors il est barycentre des points B et C affectés de certains coefficients

si G est un point de la droite (AA') alors il est barycentre des points A et A' affectés de certains coefficients

puis utiliser l'associativité du barycentre ...

Posté par
tournaud
re : Barycentre 28-01-17 à 18:22

Je n'arrive pas ..jy comprends riën..aider moi

Posté par
tournaud
re : Barycentre 29-01-17 à 00:40

SOS

Posté par
tournaud
re : Barycentre 29-01-17 à 08:57

Qui peut m'aider ??

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentre 29-01-17 à 09:26

Vérifie que la propriété utilisée par carpediem dans "si A' est un point de la droite (BC) alors il est barycentre des points B et C affectés de certains coefficients" n'est pas dans ton cours. Si elle est dans ton cours, utilise sa méthode.
Cela dit, je ne vois pas l'intérêt de la donnée "(AA'), (BB') et (CC') sont concourantes en un point G".
L'énoncé est sans doute incomplet ; ou il y a d'autres questions ?

Je démontre ceci : Pour n'importe quel point M du plan il existe trois réels a, b et c tel que M soit barycentre de (A,a) ; (B,b) et (C,c) .

ABC est un triangle ; les points A, B, C ne sont donc pas alignés. Les vecteurs AB et AC ne sont donc pas colinéaires.
(A; vecteurAB , vecteurAC ) est donc un repère du plan. Soit x et y les coordonnées du point M dans ce repère.

vecteurAM = x vecteurAB + y vecteurAC

vecteurMA + x (vecteurAM + vecteurMB) + y (vecteurAM + vecteurMC ) = vecteur nul.

(1-x-y) vecteurMA + x vecteurMB + y vecteurMC = vecteur nul.

Posté par
tournaud
re : Barycentre 29-01-17 à 09:46

Merci

Posté par
Priam
re : Barycentre 29-01-17 à 13:52

Après avoir posé  
A' = bar (B,1) (C,i)
B' = bar (C,1) (A,j)
C' = bar (A,1) (B,k) ,
je suis arrivé au résultat suivant :
G = bar (A,1) (B,k) C,(1/j)  avec  ijk = 1 .

Posté par
pgeod
re : Barycentre 29-01-17 à 14:25

Bonjour Priam
Tu es sûr ?
Pour moi il n'y a aucune condition sur les poids a, b et c
autre que a + b + c 0.
IL n'y a a pas de condition sur la position du point G.

Posté par
Priam
re : Barycentre 29-01-17 à 14:45

On place le point A' sur le côté BC et le point B' sur le côté AC en choisissant librement les valeurs de  i  et  j .
Mais on ne peut pas faire la même chose pour le troisième point C'. Sa position est déjà déterminée, car la droite CC' doit passer par le point G, intersection des droites AA' et BB'.
Donc, dès que les coefficients  i  et  j  ont été choisis, la position du point G est déterminée et il est barycentre des points A, B et C avec des coefficients bien déterminés.
La valeur du troisième coefficient  k  s'obtient de l'égalité  ijk = 1 ; je vois là la seule condition à respecter.

Posté par
pgeod
re : Barycentre 29-01-17 à 14:51

Oui. mais au final, quand tu écris : G = bar (A,1) (B,k) C,(1/j)
Il est où le coefficient i ?
La condition ijk = 1 n'est-elle donc pas triviale ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentre 29-01-17 à 14:57

Je suis d'accord avec Priam.
Le point G est à l'intersection de trois droites issues de A, B, C.
Cette donné permet de trouver des conditions sur les coefficients.
Je pense que la relation ijk = 1 revient au théorème de Céva.

Posté par
pgeod
re : Barycentre 29-01-17 à 15:28

Bonsoir Priam. Bonsoir Sylvieg.
Je ne sais pas si on parle de la même chose.

Si je prends G bar de (A, a) (B, b) et (C, c) avec a 0
c'est équivalent à G bar de (A, 1) (B, b/a) et (C, c/a)

Je peux dire que i = c/b, j = a/c et k = b/a avec ijk = 1
J'obtiens donc la même relation que vous.
il n'en demeure pas moins que a, b et c sont quelconques
avec a + b + c 0
non ?

Posté par
lake
re : Barycentre 29-01-17 à 18:52

Bonjour,

G étant fixé, les coefficients a,b,c sont déterminés à un facteur multiplicatif près.
Est-ce qu' on attend de touraux qu' il prouve qu' ils sont proportionnels aux aires des triangles GBC, GAC et GAB, c' est une autre histoire.
Sans produit vectoriel, ça se fait mais c' est un peu pénible.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentre 29-01-17 à 20:32

Bonsoir lake
Je ne pense pas qu'on attende ce genre de chose.
Par contre, il est possible qu'il manque l'adjectif positif dans l'énoncé :
Démontrer qu'il existe trois réels a, b et c positifs tels que G soit barycentre de (A,a),(B,b) et (C,c).

Posté par
lake
re : Barycentre 29-01-17 à 20:42

Bonsoir Sylvieg,

C' est justement parce que le point G est défini intérieur au triangle ABC que j' ai pensé à ces histoires d' aires géométriques accessibles en 1ère puisque qu' on ne parle pas ici d' aires algébriques.
Bon, finalement je crois aussi que ce serait un peu fort de café...

Posté par
lake
re : Barycentre 29-01-17 à 20:44

J' espère que tournaux voudra bien m' excuser: j' ai écorché son pseudo...



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