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barycentre

Posté par
JAIMEMATH
28-04-17 à 16:08

Comment démontrer que l'orthocentre H d'un triangle ABC est barycentre des points pondérés (A,a);(B,b);(C,c) ou a , b et c sont a  déterminer.

Posté par
lake
re : barycentre 28-04-17 à 16:19

\large \red\text{Bonjour,}

Soit A ' le pied de la hauteur issue de A

Essaie d' évaluer \dfrac{A'B}{A'C} en fonction de \widehat{B} et \widehat{C} en exprimant AA' de deux manières différentes.

Posté par
JAIMEMATH
re : barycentre 28-04-17 à 16:47

J'ai tanB=A'A/A'B et tanC=A'A/A'C (A'B/A'C)=(tanB/tanC) j'en déduit aussi que (B'C/B'A)=(tanC/tanA)
Je vous écoute

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 28-04-17 à 16:49

Bonjour,

tout point du plan ou presque est le barycentre de (A,a);(B,b);(C,c) où a, b et c sont à déterminer. (selon le point en question)

le problème est en fait de déterminer a,b,c pour que ce barycentre soit l'orthocentre
c'est à dire trouver des coefficients a,b,c tels que
a\vec{HA} + b\vec{HB} + c\vec{HC} = \vec{0}

pour ça il nous faut une définition vectorielle de l'orthocentre
en connais tu une (des questions précédentes ??)


une autre façon de procéder est de considérer les aires des triangles découpés par une hauteur.
ou ce qui revient au même les pieds des hauteurs :

barycentre

les coefficients b et c cherchés sont tels que HA est le barycentre de (B;b) et (C;c)
c'est à dire que b\vec{H_AB} + c\vec{H_AC} = \vec{0}

si tout ça est positif (si HA est entre B et C) on remarque simplement que en longueurs
HAB = HAA/tan(B) et HAC = HAA/tan(C)

avec ça tu devrais pouvoir suivre la piste.

Posté par
JAIMEMATH
re : barycentre 28-04-17 à 16:56

Moi je voudrais avoir une définition vectorielle de l'orthocentre. Je cherche sur internet je ne trouve pas .

Posté par
Priam
re : barycentre 28-04-17 à 17:06

Il y en aurait une utilisant le centre du cercle circonscrit au triangle . . . .

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 28-04-17 à 17:14

les seules définitions vectorielles que je connais sur l'orthocentre ne vont pas aboutir à grand choses ici !
si O est le centre du cercle circonscrit et G l'isobarycentre de (A,B,C) ("centre de gravité")

\vec{OH} = \vec{OA}+\vec'OB}+\vec{OC} et \vec{OH} = 3\vec{OG}

le seul usage possible de "ça" serait de se placer dans un repère d'origine O avec comme unité le rayon du cercle circonscrit,
en considérant les affixes des sommets, nombres complexes (méthode dite du "truc de Morley")
pas sur que ça soit simple !! et certainement pas en première (même en supposant que pas en France)

c'est pour ça que je parlais de questions précédentes éventuelles.
s'il n'y a rien dans l'énoncé à ce sujet, tes recherches sont à mon avis vouées à l'échec.
et il faut faire comme on a dit. (pieds des hauteurs etc)

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 28-04-17 à 17:15

une chiure de mouche s'est glissée dans la formule :

\vec{OH} = \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}



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