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Barycentre

Posté par
Anaben33 14-12-17 à 21:12

Bonjour à tous et toutes je redemande de l'aide pour un exercice concernant le barycentre :
Exercice :
ABC est un triangle et I milieu  de [BC] a,b,c  sont trois réels tels que a+b+c1
G est le barycentre des points pondérés (A,a) ; (B,b) ; (C,c) et GI.
Montrer que (G(AI) ) (bc)
Ma piste c'est utiliser la donne qui dit que I milieu de BC pour dire que \vec{BC}=2\vec{BI} et dire que B barycentre des points pondérés (I,2) et (C,-1)

Posté par
ThierryPomare : Barycentre 15-12-17 à 08:46

Bonjour,

De mon boulot et très rapidement : Vu que I=\mathrm{mil }[B,\,C],

Citation :
Montrer que (G(AI) ) (bc)


b=c\Rightarrow\overrightarrow{0}=a\,\overrightarrow{GA}+b\,\overrightarrow{GB}+c\,\overrightarrow{GC}=a\,\overrightarrow{GA}+2\,b\,\overrightarrow{GI}

Remarquons que si a=0, alors b=c=0 nécessairement vu que G\ne{I} (par hypothèse !).

Es-tu certain de ton énoncé ?

Posté par
ThierryPomare : Barycentre 15-12-17 à 08:52

J'oubliais :

Remarquons que si a=0, alors b=c=0 nécessairement vu que G\ne{I} (par hypothèse !). Sinon, ou bien b=0, auquel cas G=A, ou bien b\ne0, auquel cas G\in(AI).

Posté par
ThierryPomare : Barycentre 15-12-17 à 09:31

J'y pense (car cela est très lointain dans ma tête !) :

Vu que

G=\mbox{bar }((A,\,a),\,(B,\,b),\,(C,\,c))

alors a+b+c\ne0 par définition du barycentre d'une famille de points pondérés. Par suite, l'implication

b=c\Rightarrow\overrightarrow{0}=a\,\overrightarrow{GA}+b\,\overrightarrow{GB}+c\,\overrightarrow{GC}=a\,\overrightarrow{GA}+2\,b\,\overrightarrow{GI}

montre que l'on ne peut pas avoir a=0, car sinon l'on aurait b=c=0. Par suite a\ne0 et l'étude du 15-12-17 à 08:52, montre que

b=c\Rightarrow\overrightarrow{0}=a\,\overrightarrow{GA}+b\,\overrightarrow{GB}+c\,\overrightarrow{GC}=a\,\overrightarrow{GA}+2\,b\,\overrightarrow{GI}\Rightarrow{G\in(AI)}

Par contraposition, l'on a

G\not\in(AI)\Rightarrow(b\ne{c})

Ton énoncé a donc un problème !


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