Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

Barycentre

Posté par nicolas (invité) 10-02-04 à 18:43

Salut , petit probleme de barycentre.

Soit le barycentre H du systeme de points (A;a), (B,a+1) et (C;a+2)
ou a est un réel different de -1 et A,B et C trois pts non alignés du
plan. On note G le centre de gravité du triangle ABC et I le pt défini
par:

CI=1/3CB (avec les fleches)
Montrer que les pts G, H, et I sont aligné

Je pense qu'il faut montrer que un points est barycentre des deux
autres mais je n'arrive pas.
MErci


Posté par
watik
re : Barycentre 10-02-04 à 20:34

bonsoir
permettez moi de vous aider.

considérons le repère (A,AB,AC), c'est un repère car A,B et C ne sont pas
alignés.

H étant le barycentre du systeme de points (A;a), (B,a+1) et (C;a+2)
ou a est un réel different de -1, donc qq soit le point M du plan
:

3(a+1)HM=aAM+(a+1)BM+(a+2)CM

en particulier si M=G alors

3(a+1)HG=aAG+(a+1)BG+(a+2)CG
                 = a(AG+BG+CG)+BG+2CG

comme G est le centre de gravité de ABC alors AG+BG+CG=0
et BG+CG=-AG

donc

3(a+1)HG=a.0-AG+CG=GA+CG=CA

ssi 3(a+1)(HA+AG)=-AC

ssi 3(a+1)AH=3(a+1)AG+AC

comme AG=1/3AB+1/3AC

donc 3(a+1)AH=3(a+1)(1/3AB+1/3AC)+AC
                          = (a+1)AB+(a+2)AC

donc AH=1/3AB+((a+2)/3(a+1))AC

d'autre par AI=AC+CI=1/3CB+AC
                       = 1/3(CA+AB)+AC
                       = 1/3AB+2/3AC

Donc IG=AG-AI=(1/3AB+1/3AC)-(1/3AB+2/3AC)
             = -1/3AC

et IH=AH-AI=(1/3AB+((a+2)/3(a+1))AC)-(1/3AB+2/3AC)
        = 1/3(((a+2)/3(a+1))-2)AC
        = -a/3(a+1)AC

donc IH=a/(a+1)IG

donc les trois points I,G et H sont alignés.

retenez au passage la méthode du choix d'un repère dans lequel vous
exprimez les vecteurs et vous conduisez les calculs.

j'espère que ma réponse vous est utile et enrichissante.

bonsoir et bon courage.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1488 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !