bonsoir
permettez moi de vous aider.

considérons le repère (A,AB,AC), c'est un repère car A,B et C ne sont pas
alignés.

H étant le barycentre du systeme de points (A;a), (B,a+1) et (C;a+2)
ou a est un réel different de -1, donc qq soit le point M du plan
:

3(a+1)HM=aAM+(a+1)BM+(a+2)CM

en particulier si M=G alors

3(a+1)HG=aAG+(a+1)BG+(a+2)CG
                 = a(AG+BG+CG)+BG+2CG

comme G est le centre de gravité de ABC alors AG+BG+CG=0
et BG+CG=-AG

donc

3(a+1)HG=a.0-AG+CG=GA+CG=CA

ssi 3(a+1)(HA+AG)=-AC

ssi 3(a+1)AH=3(a+1)AG+AC

comme AG=1/3AB+1/3AC

donc 3(a+1)AH=3(a+1)(1/3AB+1/3AC)+AC
                          = (a+1)AB+(a+2)AC

donc AH=1/3AB+((a+2)/3(a+1))AC

d'autre par AI=AC+CI=1/3CB+AC
                       = 1/3(CA+AB)+AC
                       = 1/3AB+2/3AC

Donc IG=AG-AI=(1/3AB+1/3AC)-(1/3AB+2/3AC)
             = -1/3AC

et IH=AH-AI=(1/3AB+((a+2)/3(a+1))AC)-(1/3AB+2/3AC)
        = 1/3(((a+2)/3(a+1))-2)AC
        = -a/3(a+1)AC

donc IH=a/(a+1)IG

donc les trois points I,G et H sont alignés.

retenez au passage la méthode du choix d'un repère dans lequel vous
exprimez les vecteurs et vous conduisez les calculs.

j'espère que ma réponse vous est utile et enrichissante.

bonsoir et bon courage.