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Barycentre 8

Posté par
Samsco
15-09-20 à 20:45

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice:

Soit ABC un triangle et M un point strictement intérieur à ce triangle . Les droites (AM) , (BM) et (CM) coupent respectivement les cotés [BC] , [CA] et [AB] du triangle en A' , B' et C' .

1-a) Démontrer que: [aire(MAB)]/[aire(MAC)]=A'B/A'C

b) En déduire que A' est le barycentre des points pondérés (B , aire(MAC)) et (C , aire(MAB)).
Démontrer que les points G et M sont confondus.

Application

Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. On pose BC=a , CA=b et AB=c .

En utilisant les résultats précédents , démontrer que I est le barycentre des points (A , a) , (B , b) , (C , c)

Je ne sais pas comment débuter.

Barycentre 8

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 15-09-20 à 21:08

Bonjour,

bien comprendre la formule de l'aire d'un triangle quelle que soit l'orientation de ce triangle

donc tracer les hauteurs "pertinentes" de ces deux triangles
("pertinentes" = de sorte que les bases soient la même)

puis utiliser Thalès pour transformer le rapport de ces deux hauteurs en ce qui est demandé.


nota : "Démontrer que les points G et M sont confondus".
G n'étant pas défini dans cet extrait d'énoncé, il est impossible de prouver quoi que ce soit concernant ce point "G".

Posté par
pgeod
re : Barycentre 8 15-09-20 à 21:11

1-a
Soit h la hauteur issue de B dans AA'B
Soit h' la hauteur issue de C dans AA'C
Ecris [aire(MAB)]/[aire(MAC)] en fonction de h et h'

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 15-09-20 à 22:21

Avant " Démontrer que les points M et G sont confondus" , il y a:

2- Soit G le barycentre des points pondérés (A ,  aire(MBC)) , (B , aire(MAC)) et (C , aire(MAC))

mathafou @ 15-09-2020 à 21:08

Bonjour,

bien comprendre la formule de l'aire d'un  triangle quelle que soit l'orientation de ce triangle

donc tracer les hauteurs "pertinentes" de ces deux triangles
("pertinentes" = de sorte que les bases soient la même)


De quels "deux triangles" parlez vous ?

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 15-09-20 à 23:10

pgeod @ 15-09-2020 à 21:11

1-a
Soit h la hauteur issue de B dans AA'B
Soit h' la hauteur issue de C dans AA'C
Ecris [aire(MAB)]/[aire(MAC)] en fonction de h et h'


aire(MAB)=(AM×h)/2
aire(MAC)=(AM×h')/2

aire(MAB)/aire(MAC)=h/h'

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 15-09-20 à 23:30

Citation :
De quels "deux triangles" parlez vous ?
bein de ceux là : MAB et MAC de base commune MA ...

en ayant tracé les deux hauteurs h et h' tu devrais voir le Thalès dont je parlais ...

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 16-09-20 à 15:37

Voilà

En considérant le triangle MJB

D'apres thalès:

MJ/MC=MB/MI

Barycentre 8

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 16-09-20 à 17:32


?? où diable sont les hauteurs h et h' dans ta figure ?
la hauteur d'un triangle c'est ça :

Barycentre 8

quel rapport entre ce que tu fais et le but demandé dans l'énoncé (A'B/A'C) ??
une figure correcte c'est par exemple

Barycentre 8

dans laquelle figurent les éléments dont on parle et pas d'autres sans aucun rapport :
les triangles MAB et MAC
leurs hauteurs h et h'

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 16-09-20 à 21:33

Ok
D'après la conséquence de la propriété de Thalès :

A'B/A'C=A'H/A'K=h/h'

A'B/A'C=h/h'=aire(MAB)/aire(MAC)

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 16-09-20 à 21:44

\dfrac{A'B}{A'C}=\dfrac{aire(MAB)}{aire(MAC)}
 \\ 
 \\ \iff aire(MAC).A'B=aire(MAB).A'C
 \\ 
 \\ \iff A'B=\dfrac{aire(MAB)}{aire(MAC)}A'C

A' \in [BC] donc \vec{A'B}=\lambda \vec{A'C} avec \lambda<0

Or aire(MAB)/aire(MAC)>0

\iff \vec{A'B}=-\dfrac{aire(MAB)}{aire(MAC)}\vec{A'C}
 \\ 
 \\  \iff aire(MAC).\vec{A'B}+aire{MAB}\vec{A'C}=\vec{0}

A'=bar{(B , (aire(MAC)) , (C , aire(MAB))}

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 16-09-20 à 21:53

2- Je sais que M et G sont confondus si \vec{MG}=\vec{0} mais je ne sais pas comment le démontrer.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 16-09-20 à 22:10

association de barycentres à partir de la définition de G pour justifier que G est sur la droite (AA')
et etc...

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 16-09-20 à 22:16

G=bar{(A , aire(MBC)) , (B , aire(MAC)) , (C , aire(MAB))}

Or A=bar{(B , aire(MAC)) , (C , aire(MAB))}

donc G=bar{(A , aire(MBC)) , (A' , aire(MAB)+aire(MAC))}

Donc G appartient à (AA')

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 16-09-20 à 22:19

Pour continuer je dois écrire M comme barycentre des points A et A' affectés des même masses?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 16-09-20 à 22:31

??
M est par définition sur AA' point barre

il suffit de faire pareil avec BB' et CC' pour conclure sans aucun autre calcul du tout .

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 16-09-20 à 22:50

Pour il faut écrire B' comme barycentre des points  A et C , puis C' comme barycentre des points A et B . Il faut encore chercher à démontrer que aire(X)/aire(Y)=B'A/B'C

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 16-09-20 à 22:55

une fois faite la question 1 on peut se contenter de dire uniquement "de même ..." car la démonstration pour B' et pour C' est totalement identique à l'exception des noms de points exclusivement, par permutation sur les sommets du triangle.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 16-09-20 à 23:53

De même, aire(MAC)/aire (MBC)=C'A/C'B

Et aire(MAB)/aire(MBC)=B'A/B'C

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 17-09-20 à 00:02

B'=bar{(A , aire(MBC)) , (C , aire(MAB))}

C'=bar{(A , aire(MBC)) , (B , aire(MAC))}

G=bar{(C' , aire(MBC)+aire(MAC)) , (C , aire(MAB))}

Donc G appartient à (CC')

G=bar{(B' , aire(MBC)+aire(MAB)) , (B , aire(MAC))}

Donc G appartement à (BB')

Ainsi , les droites (AA') , (BB') et (CC') sont concourantes en G.

Or les droites (AA') , (BB') et (CC') sont concourantes en M.

On en déduit que M et G sont confondus.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 17-09-20 à 00:11

oui
et la fin du raisonnement sur A' c'était une histoire de barycentre (question 1b)
A' = Bar (B, aire MAC) (C, aire MAB)

donc "de même" B' = bar ... et C' = bar ...

et tu fais pareil avec G question 2
tu as démontré que G est sur AA' en regroupant les bar. de B et C dans la définition de G

"de même" G est sur BB' et sur CC'

donc G = M
terminé. (deux droites distinctes AA' et BB' ne se coupent qu'en un seul point au plus)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 17-09-20 à 00:12

fait entre temps (messages croisés)

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 17-09-20 à 00:20

Ok

pour la dernière partie ( application) , comment faire .

Sincèrement je ne vois pas comment les résultats précédents pourraient m'aider.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 17-09-20 à 00:21

Samsco @ 17-09-2020 à 00:20

Ok

pour la dernière partie ( application) , comment faire ?

Sincèrement je ne vois pas comment les résultats précédents pourraient m'aider.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 17-09-20 à 00:29

dans la première partie on a montré que tout point M du triangle peut être défini comme barycentre des sommets avec comme poids les aires des triangles "opposés" à ces sommets

c'est en particulier valable pour le point I centre du cercle inscrit
exprimer les aires en utilisant les hauteurs issues de I ...
qui ont une particularité (cercle inscrit...)

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 17-09-20 à 08:39

Citation :
C'est en particulier valable pour le point I centre du cercle inscrit
exprimer les aires en utilisant les hauteurs issues de I ...
qui ont une particularité (cercle inscrit...)


J'ai placé le centre de cercle inscrit ( point de concourt des médianes du triangle)

Il faut considerer les memes triangles AHB , AHC et HBC.

Si on choisie les hauteurs issus de H dans ces triangles , on ne pourra pas avoir de triangle de meme base .

Et je ne sais pas placer les hauteur ( exatement) avec Geogebra , je peux juste trace la droite passant par un sommet et perpendiculaire au coté opposé.

Barycentre 8

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 17-09-20 à 09:00

déja "point de concours des médianes" est faux
j'espère que c'est un lapsus.

et ensuite il est obligatoire de tracer le cercle inscrit lui même
en particulier ses points de contact avec les côtés, ça joue un role fondamental ici

alors que les points A' B' C' de l'énoncé ne servent plus à rien du tout (ceux que tu as appelé D, E, G sur ta figure) ils sont totalement inutiles
ils ne servaient que pour faire les démonstrations dans les questions d'avant
désormais on n'utilise que uniquement le résultat avec les aires et rien d'autre

dans ce résultat (il est de tradition d'appeler I le centre du cercle inscrit)

I = Bar (A, aire IBC) (B, aire IAC) (C, aire IAB)

ne figurent plus du tout ces points A', B', C'

avec Geogebra on a l'outil intersection pour tracer les hauteurs (segments) de quoi que ce soit
et le raisonnement et propriétés des tangentes à un cercle fait le reste

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 18-09-20 à 08:14

Les hauteurs issus de I sont-elles des rayons du cercle inscrit dans ABC?

Samsco @ 17-09-2020 à 08:39

J'ai placé le centre de cercle inscrit ( point de concourt des médiatrices du triangle)
.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 18-09-20 à 09:04

médiatrices, non plus.

extrait du cours de 4ème Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle
Barycentre 8

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 18-09-20 à 16:39

Les hauteurs issues de I sont des rayon du cercle inscrit dans ABC.

Soit r le rayon de ce cercle.

aire(IBC)=(BC×r)/2=a.r/2
aire(IAC)=(AC×r)/2=b.r/2
aire(IAB)=(AB×r)/2=c.r/2

I=bar{(A , ar/2) , (B , br/2) , (C , cr/2)}

En multipliant par 2/r , on obtient

I=bar{(A , a) , (B , b) , (C , c)}

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 8 18-09-20 à 16:52

voila, c'est pas plus compliqué que ça
si on se rappelle des cours de collège sur ce qu'est le cercle inscrit.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 18-09-20 à 17:26

Oui , je vais réviser ces cours.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 8 18-09-20 à 17:27

Merci pour tout !

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