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barycentre

Posté par
moussolony
06-06-19 à 23:48

Salut
Soit ABCD un quadrilatère L et J les milieux respectifs des segment [AD]et [BC] I et k les points définies par
AI=2/3 AB , et DK=2/3 DC
Démontre que le milieu du segment [IK] appartient a la droite (JL)

Posté par
jarod128
re : barycentre 07-06-19 à 01:11

Bonjour, en utilisant les barycentres comme ton titre le préconise :
M milieu de [I,K] donc
M bar( I,1)(K,1)
Écris de même I bar ...
K bar...
J bar...
L bar...
Puis reprends M bar et remplace I et K par...

Posté par
malou Webmaster
re : barycentre 07-06-19 à 08:27

moussolony, cet exercice ressemble énormément au précédent, et la démarche est similaire
Tu dois proposer ta démarche et non poster ton exercice sans aucune recherche comme tu le fais
(modérateur)

Posté par
moussolony
re : barycentre 07-06-19 à 19:00

Salut a tous
3AI=2(AI+IB)
3AI-2A-2IB=0
AI+2BI=0
I bar{(A,1)(B,2)}

3DK=2DC
3DK-2DK-2KC=0
DK+2CK=0
K bar{(D,1)(C,2)}

L bar (A,1)(D,1)

J bar(B,2)(C,2)


M bar(I,3)(K,3)
M bar(A,1)(B,2) , (D,1)(C,2)
M bar(L,2) ( J,4)
Comme M est le milieux du segment [IK] et appartient a (LJ) . ceci prouve que le milieu du segment [IK] appartient a la droite (LJ)

Posté par
pgeod
re : barycentre 07-06-19 à 21:23

C'est bon.

Posté par
moussolony
re : barycentre 07-06-19 à 22:08

Merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 08-06-19 à 08:31

Bonjour,
on remarque que la démonstration utilise dans sa rédaction des "valeurs idoines" comme par exemple
J bar (B,2)(C,2)
M bar(I,3)(K,3)
alors que "logiquement" les poids pour un milieu devraient être 1 et 1
bon, c'est juste, parce que c'est vrai avec les poids multipliés par un même coefficient quelconque non nul
mais au prime abord on se demande pourquoi avoir choisi ces poids là !
on ne le comprend que dans les calculs suivants.

de sorte que la démonstration telle quelle nécessite un travail supplémentaire au lieu de simplement remplacer 2/3 par q et 1/2 (milieu) par p pour généraliser à :
pour p et q deux réels quelconques, I,J,K,L et M définis par

\overrightarrow{AI}=q\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{DK}=q \overrightarrow{DC}\\ \overrightarrow{AL}=p\overrightarrow{AD}\\ \overrightarrow{BJ}=p\overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{IM}=p\overrightarrow{IK}

Prouver que J,L,M alignés (quels que soient p et q donc)
(et même que \overrightarrow{LM}=q\overrightarrow{LJ} )

l'exo est avec p = 1/2 (milieux) et q = 2/3
cette figure est avec p = 3/4 q = 2/5 :

barycentre

en fait on a dans le cas général L = bar(A,1-p)(D, p) etc (calculs semblables)

question subsidiaire (hors exo) :
(IJ), (KL), (AC) concourantes ou parallèles (si elles existent, si p et q ≠ 1)
(IL), (JK), (BD) concourantes ou parallèles ( " " si p, q ≠ 0)

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 08-06-19 à 08:35

** différents de (0, 0) (0, 1) (1, 0) et (1, 1)



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