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barycentre

Posté par
moussolony
06-07-19 à 17:49

Bonjour
A, B et C sont trois points quelconques non alignés d un plan   on considéré les points A', B' et C' respectivement par les égalité
BA'=k BC , CB'=k CA , AC'=k AB, k étant un nombre réel .
Démontrer que tout point M du plan , on a
MA'+ MB'+MC'=MA+MB+MC
En déduire que les deux triangles ABC et A'B'C' ont le même centre de gravité
Réponse
1/ démontrons
MA'+MB'+MC'=MA+AA'+MB+BB'+MC+CC'
Je ne sais pas comment annuler AA'+BB'+CC' dans le calcul

Merci d avance pour votre aide

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : barycentre 06-07-19 à 18:19

Bonjour,
Ce sont les vecteurs BA' , CB' et AC' qui sont donnés ; ce sont eux qu'il faut faire apparaître quand on utilise Chasles.
Par exemple, pour transformer MA' , il faut faire apparaître BA' .
Recommence ainsi.

Posté par
moussolony
re : barycentre 06-07-19 à 18:38

On a donc
MB+BA'+MC+CB'+MA+AC'=MA'+MB'+MC'

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : barycentre 06-07-19 à 18:46

Il faut continuer :
MA'+MB'+MC' = MB+BA'+MC+CB'+MA+AC' = MA+MB+MC+ ...

Posté par
moussolony
re : barycentre 06-07-19 à 18:53

MB+BA'+MC+CB'+MA+AC'=MB+kBC+MC+kCA+MA+kAB=MB+k(BC+CA)+MC+MA+kAB=MB+kBA+MC+MA-kBA=MA+MB+MC

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : barycentre 06-07-19 à 18:55

D'accord.
Retiens la méthode : Faire apparaître les vecteurs qui sont dans les données de l'énoncé.

Posté par
moussolony
re : barycentre 06-07-19 à 19:00

Ok j ai compris
En déduire que les deux triangles A,B et C , A', B' et C' ont le même centre de gravite
Je sais qu on utilise la question précédente, mais comment deduire

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : barycentre 06-07-19 à 19:04

Que connais-tu comme propriétés avec des vecteurs pour le centre de gravité d'un triangle ?

Posté par
moussolony
re : barycentre 06-07-19 à 20:43

On sait que dans un triangle (ABC) ou I est le milieu de[AC] . le centre de gravité de (ABC) se situe au 2/3 du segment [AI]

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 06-07-19 à 21:01

Bonjour,
réponse à côté de la plaque :

Citation :
avec des vecteurs

donc, en fait tu n'en connais aucune... ?
ce que tu dis peut être traduit en vecteurs par \vec{AG} = \dfrac{2}{3} \vec{AI}
un petit coup de Chasles là dessus et tu obtiens la bonne relation entre les vecteurs {\red\vec{GA}, \vec{GB}}\ \text{et}\ {\red\vec{GC}} ...
celle qui fera un lien avec ce qu'on a démontré juste avant..

Posté par
moussolony
re : barycentre 06-07-19 à 22:04

Bonsoir
On a
MA+MB+MC=MA'+MB'+MC'
MG+GA+MG+GB+MG+GC=MG+GA'+MG+GB'+MG+GC'
3MG+GA+GB+GC=3MG+GA'+GB'+GC'
GA+GB+GC=GA'+GB'+GC'
On en déduit que les deux triangles ont le même centre de gravité

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : barycentre 06-07-19 à 22:23

Bonsoir,
Calculs inutiles puisque l'égalité MA+MB+MC=MA'+MB'+MC' a été démontrée pour tout point M du plan.
Il faudrait peut-être que tu précise ce qu'est G au départ.
Ensuite, quelle propriété du centre de gravité tu utilises.

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 06-07-19 à 22:31

ta conclusion GA+GB+GC=GA'+GB'+GC' ne montre rien du tout à part que
pour tout point M on sait déja que MA+MB+MC = MA'+MB'+MC'
et que renommer M en G ne change rien du tout à cette propriété !!
en particulier ne fait aucun lien avec un quelconque centre de gravité vu que ce que tu écrit serait tout aussi vrai avec n'importe quel point G n'importe où dans le plan !
donc tu n'a rien démontré du tout.

on attend toujours LA relation vectorielle caractéristique d'un centre de gravité, ce qui est demandé par Sylvieg
et spécifique au centre de gravité, fausse pour n'importe quel autre point ...
et à partir de cette relation là on en déduira ce qu'on veut démontrer.

pour trouver cette relation vectorielle si tu ne la connais pas, fais ce que je t'ai dit de faire
utilise Chasles dans la définition vectorielle de G que je t'ai donnée :

\vec{AG} = \dfrac{2}{3} \vec{AI}, et I milieu de BC

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 06-07-19 à 22:33

bonsoir Sylvieg tu étais déconnectée alors je suis intervenu, je te laisse poursuivre.

Posté par
moussolony
re : barycentre 07-07-19 à 14:14

Bonjour
J essaye encore
3AG=2AI
3AG=2(AG+GI)
3AG-2AG-2GI=0
AG+IG=0
G bar = (A,1)(I,2) or l bar( B,1)(C,1)
G bar=(A,1)(B,1)(C,1)
GA+GB+GC=0

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 07-07-19 à 14:40

voila c'est ça la relation clé, G (equi)barycentre du triangle ABC si et seulement si GA+GB+GC=0

mais passer par l'intermédiaire des barycentres est soit inutile, soit c'est le reste qui l'est

par définition G = bar (A,1)( B,1)(C,1) équivaut à 1GA+1GB+1GC=0 et c'est directement terminé sans aucun calcul en fait (à part ceux du cours pour démontrer ces propriétés générales des barycentres en général)


ou bien on continue avec Chasles, mais dans l'objectif de faire apparaitre les GA, GB et GC sans jamais parler de barycentre

3AG = 2AI = 2(AG + GI)
AG = 2GI = GI + GI = (GB+BI)+(GC+CI) = GB+GC car I milieu de BC donne BI+CI=0

donc finalement GA+GB+GC = 0
comme tout ça sont des équivalence, la réciproque est assurée (si et seulement si)

pour l'exo, connaissant cette relation fondamentale définissant le centre de gravité, la question se résout en une demi phrase sans aucun calcul à partir du résultat des questions précédentes.

Posté par
moussolony
re : barycentre 08-07-19 à 07:53

Bonjour
Posons M=G
On aura donc
MA+MB+MC=MA'+MB'+MC'
GA+GB+GC=GA'+GB'+GC'
On en déduit que les triangles ABC et A'B'C' ont le même centre de gravité

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : barycentre 08-07-19 à 09:17

Citation :
Il faudrait peut-être que tu précise ce qu'est G au départ.
Ensuite, quelle propriété du centre de gravité tu utilises.

En commençant par répondre à :
Citation :
Que connais-tu comme propriétés avec des vecteurs pour le centre de gravité d'un triangle ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 08-07-19 à 11:01

la propriété avec des vecteurs sur le centre de gravité a été obtenue de façon plus ou moins pénible et de rédaction "bizarre" (en vrac) dans les messages précédents
c'est : G centre de gravité de ABC équivaut à (si et seulement si) GA+GB+GC = 0 (en vecteurs)


en tout cas la rédaction du dernier message est assez beaucoup déficiente !
elle ne met absolument pas en lumière le vrai raisonnement. (on peut même douter que tu en aies vraiment un !!)

Posons M=G encore faudrait il dire explicitement que G serait le centre de gravité de qui donc ? de ABC, ou bien de A'B'C' ?? certainement pas des deux vu qu'on ne le sait pas encore qu'ils ont le même centre de gravité !!

dans la suite du raisonnement il manque l'étape absolument fondamentale :
donc GA+GB+GC = 0, en supposant que G soit par hypothèse le centre de gravité de ABC (seul)

sans cette étape ton raisonnement ne démontre rien du tout et se contente d'affirmer ce qu'on sait déja que MA+MB+MC = MA'+MB'+MC' quel que soit M, en G ou pas .
et il manque encore une autre étape à la fin, tout aussi indispensable.

une démonstration, ce n'est absolument pas une affirmation de ce qu'on souhaite mais un enchaînement de causes à effets dans un ordre précis reliées par des implications (une cause implique un effet) ou des équivalences logiques.
conclusion : tu n'as absolument aucune logique et tu ne sais pas ce qu'est une démonstration...

Posté par
moussolony
re : barycentre 08-07-19 à 15:09

Excuse moi pour les erreurs
Soit G centre de  gravite de ABC
<=> GA+GB+GC=0
Posons M=G, =>que G serait centre de gravité de A,B,C
MA+MB+MC
Voir ceux ci pour que je puisse continuer. Si le début est correct

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 08-07-19 à 17:03

Soit G centre de gravite de ABC
<=> GA+GB+GC=0

ok

Posons M=G, =>que G serait centre de gravité de A,B,C
MA+MB+MC

bof. oui et quoi ??
pour tout point M de n'importe quelle figure de n'importe quoi MA+MB+MC suivi de rien du tout est vrai ...


on sait que pour tout point M, MA+MB+MC = MA'+MB'+MC'
en particulier pour M=G donc
GA+GB+GC = ??
or GA+GB+GC = 0
donc ?? = 0
donc ...

terminé

voila le squelette du raisonnement correct.

Posté par
moussolony
re : barycentre 09-07-19 à 06:50

Merci infiniment



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