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barycentre

Posté par
moussolony
03-10-19 à 17:25

Bonjour
Soit un triangle ABC . on désigné par A' , B', C' les milieux respectifs des segments [BC] [ AC] et [ AB] . on pose a= BC , b= AC, et AB=c
1/ exprimer AA'^2, BB'^2, CC'^2CC'^2 en fonction de a , b et c
2/ démontre que AA'^2+BB'^2+CC'^2=3/4(a^2+b^2+c^2)
Question1
Je suis bloqué

Posté par
gerreba
re : barycentre 03-10-19 à 17:51

Bonjour,
AB+AC=2AA' d'accord ?(en vecteurs..)

Posté par
gerreba
re : barycentre 03-10-19 à 17:52

Tu connais la formule de la médiane ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 03-10-19 à 17:55

Bonjour,

barycentre ou pas, un petit coup de Chasles aboutit rapidement au résultat

AA' = AB+BA' en vecteurs
et AA' = AC + CA'

donc   2AA'^2 = ... développer et simplifier.

(PS : l'exo demande donc en fait de démontrer ce théorème de la médiane, et pas de le réciter )

Posté par
moussolony
re : barycentre 04-10-19 à 08:04

Bonjour
2AA'^2=(AB+BA')^2+(AC+CA')^2
                     =AB^2+2.AB.BA'+BA'^2+AC^2+2.AC.CA'+CA'^2CA'^2
Comment simplifier  s il vous plaît

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 04-10-19 à 08:54

il faut simplifier les doubles produits 2AB.BA' et 2AC.CA'
utiliser BA' = -CA' = 1/2 BC
factoriser ce BC et AB-AC = ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 04-10-19 à 09:04

et désolé pour cette piste qui certes aboutit ainsi, mais inutilement compliquée

autre méthode plus simple
AB+AC = 2AA'
AB-AC= CB

et ajouter membre à membre les deux carrés scalaires
les doubles produit maintenant s'éliminent de suite sans "acrobaties"

Posté par
moussolony
re : barycentre 04-10-19 à 09:17

2AA'=AB^2+BC(AB-AC)+AC^2+ BA'^2+CA'^2

Posté par
moussolony
re : barycentre 04-10-19 à 09:19

Je ne comprends pas

Posté par
moussolony
re : barycentre 04-10-19 à 09:21

S il vous plaît un exemple

Posté par
moussolony
re : barycentre 04-10-19 à 09:26

J essaie
AB +AC=2AA'
AB-AC=CB
AB=2AA'-AC
AC=2AA'-AB
On a alors
2AA'-AC-(2AA'-AB)=CB
-AC+AB=CB

Posté par
moussolony
re : barycentre 04-10-19 à 09:27

Et la suite

Posté par
moussolony
re : barycentre 04-10-19 à 09:38

Mais si on utilisait la méthode précédente

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 04-10-19 à 10:06

AB +AC=2AA'
AB-AC=CB
AB=2AA'-AC nuisible. élever directement au carré :

(AB+AC)² = 4AA'²
(AB-AC)² = CB²
etc et fini en 3 lignes

avec la méthode précédente de décomposition de AA'
on en est là
2AA'=AB^2+BC(AB-AC)+AC^2+ BA'^2+CA'^2
et AB-AC = ? disais-je
et aussi BA'² = CA'² = ? (sans aucun A' )
et il ne reste plus aucun "A' " au second membre, et uniquement des mesures de côtés

Posté par
vham
re : barycentre 04-10-19 à 12:43

Bonjour,

Citation :
mathafou le  04-10-19 à 09:04
et désolé pour cette piste qui certes aboutit ainsi, mais inutilement compliquée
autre méthode plus simple
AB+AC = 2AA'
AB-AC= CB
et ajouter membre à membre les deux carrés scalaires
les doubles produit maintenant s'éliminent de suite sans "acrobaties"


Ce serait quand même plus "indicatif " exprimé en vecteurs,
\vec{AB}+\vec{AC}=2\vec{AA'}
\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}
En apprenant à pratiquer l'aide fournie pour écriture en LTx

Posté par
mathafou Moderateur
re : barycentre 04-10-19 à 13:01

certes tu as parfaitement raison !!

mais tout est en vecteurs depuis le début et dit "en vecteurs'" une fois pour toutes
et c'est plus rapide (paresse ...) d'écrire directement en texte que de mettre des \vec{..} partout (que ce soit à la main ou avec l'éditeur LaTeX)


et que \vec{AB}^2 = \|\vec{AB}\|^2 = AB^2 est suffisamment "évident" pour que dans la formule finale tout à la fin on passe de l'écriture "en vecteurs" à l'écriture "en longueurs" implicitement.

Posté par
vham
re : barycentre 04-10-19 à 14:31

Salutations mathafou,
Je me demandais si manipuler des équations vectorielles en écrivant des vecteurs comme des longueurs était la source de confusion principale (l'incompréhension) de la démarche à suivre pour aboutir justement à des relations entre longueurs...



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