Annuler
connectez vous
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction exponentielle - Fiche de Cours terminale
- Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
- Limites de fonctions - Cours sur les limites
- Fiche sur les nombres complexes - terminale
- Intégrale : un Cours complet de terminale avec des exemples
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale ContinuitéTopics traitant de Continuité [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Barycentre
Posté par Nijiro
Bonsoir,
Soit f:[a,b]→R une fonction continue sur [a;b], et soient p,q deux réels strictement positifs.
Démontrer qu'il existe c∈[a,b] tel que: pf(a)+qf(b)=(p+q)f(c).
--->
Il faut démontrer que (si on suppose que
ou
si
).
Si j'arrive à démontrer cela tout est résolu par TVI.
Une remarque à faire:
Etant donné que p et q sont des réels strictement positifs, alors et
appartiennent à [0;1]. On peut alors poser
. Du coup:
Merci d'avance ^^.
On pose k(x)= pf(a)+qf(b)-(p+q)f(x).
*k est continue sur [a;b].
*
En fait, et d'ailleurs q et p sont des réels strictement positifs. Par suite k(a).k(b)<0
Du coup, par application de TVI, il existe au moins un réel c de [a;b] tel que :
, d'où le résultat ^^.
Comme cela?
Y aurait-il une possibilité de démontrer que si on continue avec la méthode que j'ai proposé au début?
Pour ton post de 22h40, oui c'est bon.
Pour ton post de 22h44 :
Pose x = p/(p+q), donc 0< x < 1, et 1-x = q/(p+q)
Considère la fonction :
x -> F(x) = xf(a) + (1-x)f(b)
Tu as :
F(x) = f(b) + (f(a)-f(b))x
F est donc une fonction affine.
De plus :
F(0) = f(a)
F(1) = f(b)
F étant affine, quand x parcourt l'intervalle [0 ; 1], F(x) parcourt l'intervalle [F(a) ; F(b)]
Ça répond à ta question.
Ceci dit, je vois que le titre de ton exercices est BARYCENTRES.
Peut-être aurais-tu pu utiliser les sympathiques propriétés des barycentres pour résoudre ton exercice ? 
Citation :
La méthode que j'ai proposée (désolée, j'ai oublié le "e") ^_^' .
La méthode que j'ai proposée (désolée, j'ai oublié le "e") ^_^' .
Bravo, ça fait plaisir de voir des personnes attentives à la correction de la langue !
Bonjour!
Pour votre poste de 23:05, tout est clair. Merci énormément ^^!
-->Question du barycentre:
*La propriété caractéristique du barycentre de deux points pondérés:
Si C=bar {(A;p); (B;q)} alors pour tout M du plan:
, et réciproquement.
Soit M=A:
Alors: et C
(AB). De plus:
Donc:
On relation avec l'égalité qu'on a dans la consigne:
pf(a)+qf(b)=(p+q)f (c), alors:
??
f est une application de R vers quel ensemble alors? D'abord, cela est-il correct? Logique? Ou je suis en train de faire n'importe quoi??
Pour celui de 23:07; la langue étant mon seul moyen de communication, je dois m'assurer que je l'utilise correctement ^-^.
Merci beaucoup LeHibou!
En relation avec l'égalité qu'on a dans la consigne ^-^'.
Je sais qu'on peut associer un nombre réel à chaque point du plan (f une application de P vers R), mais peut on faire le contraire?
Bonjour,
En fait, ici les barycentres n'apportent pas grand-chose, tout au plus un vocabulaire.
La clé, comme tu l'es pressenti dès le début, est bien le TVI.
On aurait pu espérer que le barycentre c des points pondérés (a,p) et (b,q) soit conservé par l'application f, mais ça n'est en général pas le cas, ça ne l'est que si f est affine.
Si tu as un jour une correction avec un véritable usage des barycentres, ça m'intéresserait de la lire !
Bonne journée,
LeHibou 
Oui, j'ai déjà interrogé le prof et il m'a dit que c'est une question de vocabulaire (vu que l'égalité qu'on a ressemble à la propriété caractéristique du barycentre).D'ailleurs, le cours est celui de la continuité. Mais parce que vous avez demandé si on peut résoudre l'exercice avec l'une des propriétés du barycentre, j'ai cru que c'est possible ^^'.
Merci LeHibou!
Citation :
Oui, j'ai déjà interrogé le prof et il m'a dit que c'est une question de vocabulaire (vu que l'égalité qu'on a ressemble à la propriété caractéristique du barycentre).D'ailleurs, le cours est celui de la continuité. Mais parce que vous avez demandé si on peut résoudre l'exercice avec l'une des propriétés du barycentre, j'ai cru que c'est possible ^^'.
Oui, j'ai déjà interrogé le prof et il m'a dit que c'est une question de vocabulaire (vu que l'égalité qu'on a ressemble à la propriété caractéristique du barycentre).D'ailleurs, le cours est celui de la continuité. Mais parce que vous avez demandé si on peut résoudre l'exercice avec l'une des propriétés du barycentre, j'ai cru que c'est possible ^^'.
Moi aussi je l'ai cru au début à cause du titre, mais c'était une fausse piste
A titre d'exercice, si tu as un peu de temps, tu peux t'entraîner à essayer de démontrer la propriété suivante :
En reprenant les notations de l'exercice, on considère dans le plan
2 les points A(a,f(a)) et B(b,f(b))
On considère sur l'axe des X le point c barycentre de (a,p) et (b,q)
Alors le point du plan C(c,f(c)) est le barycentre des points (A,p) et (B,q) si et seulement si la fonction f est affine.
Dans le sens direct, si elle est affine c'est vérifié, c'est assez facile à vérifier.
Dans le sens réciproque, si c'est vérifié elle est affine, c'est peut-être un peu plus délicat.
Si tu as une bonne relation avec ton prof, tu peux lui demander ce qu'il en pense
