Bonsoir,
Soit f:[a,b]→R une fonction continue sur [a;b], et soient p,q deux réels strictement positifs.
Démontrer qu'il existe c∈[a,b] tel que: pf(a)+qf(b)=(p+q)f(c).
--->
Il faut démontrer que (si on suppose que ou si ).
Si j'arrive à démontrer cela tout est résolu par TVI.
Une remarque à faire:
Etant donné que p et q sont des réels strictement positifs, alors et appartiennent à [0;1]. On peut alors poser . Du coup:
Merci d'avance ^^.
On pose k(x)= pf(a)+qf(b)-(p+q)f(x).
*k est continue sur [a;b].
*
En fait, et d'ailleurs q et p sont des réels strictement positifs. Par suite k(a).k(b)<0
Du coup, par application de TVI, il existe au moins un réel c de [a;b] tel que :
, d'où le résultat ^^.
Comme cela?
Y aurait-il une possibilité de démontrer que si on continue avec la méthode que j'ai proposé au début?
Pour ton post de 22h40, oui c'est bon.
Pour ton post de 22h44 :
Pose x = p/(p+q), donc 0< x < 1, et 1-x = q/(p+q)
Considère la fonction :
x -> F(x) = xf(a) + (1-x)f(b)
Tu as :
F(x) = f(b) + (f(a)-f(b))x
F est donc une fonction affine.
De plus :
F(0) = f(a)
F(1) = f(b)
F étant affine, quand x parcourt l'intervalle [0 ; 1], F(x) parcourt l'intervalle [F(a) ; F(b)]
Ça répond à ta question.
Ceci dit, je vois que le titre de ton exercices est BARYCENTRES.
Peut-être aurais-tu pu utiliser les sympathiques propriétés des barycentres pour résoudre ton exercice ?
Bonjour!
Pour votre poste de 23:05, tout est clair. Merci énormément ^^!
-->Question du barycentre:
*La propriété caractéristique du barycentre de deux points pondérés:
Si C=bar {(A;p); (B;q)} alors pour tout M du plan:
, et réciproquement.
Soit M=A:
Alors: et C(AB). De plus:
Donc:
On relation avec l'égalité qu'on a dans la consigne:
pf(a)+qf(b)=(p+q)f (c), alors:
??
f est une application de R vers quel ensemble alors? D'abord, cela est-il correct? Logique? Ou je suis en train de faire n'importe quoi??
Pour celui de 23:07; la langue étant mon seul moyen de communication, je dois m'assurer que je l'utilise correctement ^-^.
Merci beaucoup LeHibou!
En relation avec l'égalité qu'on a dans la consigne ^-^'.
Je sais qu'on peut associer un nombre réel à chaque point du plan (f une application de P vers R), mais peut on faire le contraire?
Bonjour,
En fait, ici les barycentres n'apportent pas grand-chose, tout au plus un vocabulaire.
La clé, comme tu l'es pressenti dès le début, est bien le TVI.
On aurait pu espérer que le barycentre c des points pondérés (a,p) et (b,q) soit conservé par l'application f, mais ça n'est en général pas le cas, ça ne l'est que si f est affine.
Si tu as un jour une correction avec un véritable usage des barycentres, ça m'intéresserait de la lire !
Bonne journée,
LeHibou
Oui, j'ai déjà interrogé le prof et il m'a dit que c'est une question de vocabulaire (vu que l'égalité qu'on a ressemble à la propriété caractéristique du barycentre).D'ailleurs, le cours est celui de la continuité. Mais parce que vous avez demandé si on peut résoudre l'exercice avec l'une des propriétés du barycentre, j'ai cru que c'est possible ^^'.
Merci LeHibou!
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