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Barycentre

Posté par
Nonorigolo
09-10-21 à 16:01

Bonjour, je suis embêté pour mon exercice,

A. Soit A et B deux points distincts de l'espace.
1. Existe t'il un point H tel que vecteur3HA-vecteur3HB=0 ?
2. Soit (a,b) un couple de réels tels que 1+b ne soit pas nul.
Montrer qu'il existe un unique point G tel que aGA+bGB=0 et en déduire la position exacte du point G en fonction des coefficients a et b.
3. Soit A et B deux points distincts et G le barycentre de {(A;3),(B;1)}.
a) pourquoi ce varycentre existe-t-il ?
b) quelles égalités vectorielles peut-on en déduire ?

B. Soit ABC un triangle et G le barycentre de {(A;2),(B;1),(C;1)}
1. On appelle K le barycentre de {(A;2),(B;-1)}. Construire le point K.
2. Démontrer que 2GA-GB=GK
3. En déduire que G est le barycentre de {(K;1),(C;1)}, puis construire le point G
4. Soit G le barycentre de {(A;a),(B;b),(C;c)} vérifiant donc l'égalité suivante : aGA+bGB+cGC=0
On note H le barycentre de  {(A;a),(B;b)} quand il existe. Montrer alors que G est le barycentre du système {(H;a+b),(C;c)}.

Le A. et B. non pas de lien,
J'ai énormément de mal car c'est un chapitre que je ne maîtrise pas bien et que nous n'avons pas beaucoup abordé en cours.
J'ai déjà quelque recherche pour le B. Mais rien de concret, merci d'avance de votre aide et bonne journée.

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 16:03

J'ai compris que le barycentre est le point d'équilibre mais je n'arrive pas à faire les questions j'ai juste des petites idées

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 16:23

A vrai dire je ne comprend pas quand on dit {(A;2),(B;-1)}

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 16:47

Bonjour

C'est le point affecté de son poids

si G est le barycentre de (A,2) (B,1)

cela signifie que 2\vec{GA}+\vec{GB}=\vec{0}

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 16:51

La somme des coefficients doit être non nulle

ne serait-ce pas plutôt  tel que (a+b) ne soit pas nul

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 16:54

Ah d'accord
Est-ce que je dois utiliser la formule mA vecteur KA+mB vecteur KB=0 ? Pour trouver le placement du point K ?
J'ai tenté de faire
2KA+(-1)KB=0
2KA+(-1)(KA+AB)=0
2KA+(-1KA)+ (-1AB) =0
1KA+(-1AB)=0
Puis je continue
Mais le problème c'est que je ne connais pas les longueurs des points du triangle donc je suis bloqué (je parle pour le B.)

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 17:16

Il aurait fallu continuer

\vec{AK}=-\vec{AB}

On considère un triangle.  Vous le prenez le plus général possible,  les longueurs n'ont pas d'importance.

On peut traduire cette égalité vectorielle par K est le symétrique de B par rapport à A

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 17:28

D'après ce que j'ai pu comprendre K=A ?

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 17:29

Est-ce que K est obligatoirement sur le segment [AB] ou peut en sortir ?

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 17:31

17 :28 Absolument pas
17 :29  les points A, K et B sont alignés

Les vecteurs sont colinéaires  les points sont alignés

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 17:33

Mais je ne comprend toujours pas où placer K

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 17:37

Je vous ai dit  K est le symétrique de B par rapport à A  Sur la droite (AB)
vous reportez la longueur AB  à partir de A

Ou si vous préférez vous tracez le cercle de centre A et de rayon AB

L'autre point d'intersection avec la droite (AB) est le point K

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 17:41

Donc KA=AB j'ai enfin compris merci beaucoup

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 17:44

Pour le 2. Je dois a nouveau utiliser la loi de Newton
Pour trouver l'emplacement de G puis j'utilise la relation de Chasles et d'autres pour trouver le 2GA-GB=Gk

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 17:54

C'est quoi la loi de Newton ?

G le barycentre de {(A;2), (B;1), (C;1)}  

Ne serait-ce pas (B,-1) ?

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 17:56

Oui désolé faute de frappe

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 17:56

C'est la relation avec mAvecteur+mBvecteur=0 ?

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 18:01

Alors allez-y

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 18:05

Est-ce que je dois aussi y mettre la masse de C car sinon ça me donnera le point K et non G ?

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 18:06

mAGA+mBGB+mCGC=0 ?

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 18:10

On écrit que G est le barycentre  de

2\vec{GA}-\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

or \vec{GA}=\vec{GK}+\vec{KA} etc

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 18:13

2(GK+KA)-GB+GC=0 ?

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 18:16

On est d'accord que GK=GA+AK ? Ça peut-être utile non ?

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 18:19

C'est bien ce que je vous avais écrit.   il faut aussi écrire de la même façon \vec{GB}

remplacer comme vous l'avait fait et simplifier

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 18:20

L'écriture de 18 :16 n'a pas d'intérêt

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 18:24

2(GK+KA)-(BK+KG)+GC=0
Je fais de même pour GC ?

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 18:25

J'essaie de simplifier en vain j'ai l'impression d'avoir un truc qui me bloque

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 18:31

Il ne faut pas oublier ce que l'on vient de faire

2(\vec{GK}+\vec{KA})-(\vec{GK}+\vec{KB})+\vec{GC}=\vec{0}

2\vec{GK}+2\vec{KA}-\vec{GK}-\vec{KB}+\vec{GC}=\vec{0}

2\vec{GK}-\vec{GK}+\underbrace{2\vec{KA}-\vec{KB}}_{\vec{0}}+\vec{GC}=\vec{0}
 \\

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 18:35

Donc il me reste 2GK-GK+GC=0 ?

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 18:36

Encore un effort  2-1= ?

Que pouvez-vous en déduire ? Voir le texte de la question

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 18:40

Justement j'avais trouvé GK+GC=0

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 18:50

D'après la question 2GA-GB=GK
avec ma réponse GC=GK
est-ce qu'il y a un lien avec GC=2GA-GB ?
Ce qui fait que si on remplace 2GA-GB=GK ?

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 18:50

Cela se traduit par

G est le barycentre de  \{(K,1), (C,1)\}

C'est bien ce que l'on demandait.

Si vous n'êtes pas convaincue  quelle égalité vectorielle auriez-vous si G est le barycentre de   \{(K,1), (C,1)\}

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 18:54

Mais pour le 2. Où je dois démontrer 2GA -GB =GK cela suffit ?

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 19:04

La question 2 a été traitée au passage  Le travail est vraiment mâché

2(\vec{GK}+\vec{KA})-(\vec{GK}+\vec{KB})

=2\vec{GK}+2\vec{KA}-\vec{GK}-\vec{KB}}

2\vec{GK}-\vec{GK}+\underbrace{2\vec{KA}-\vec{KB}}_{\vec{0}}}=\vec{GK}

question 3
G barycentre des points   . . .
2\vec{GA}-\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0} or 2\vec{GA}-\vec{GB}=\vec{GK}

Il en résulte  \vec{GK}+\vec{GC}=\vec{0}, par conséquent G est le barycentre de  \{(K,1), (C,1)\}

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 19:06

Ah d'accord parce que ça me paraissait bizarre que je n'avais pas clairement 2GA-GB=GK

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 19:08

Donc puisque H est le barycentre de …
Et G le barycentre de …
Par remplacement G est le barycentre de {(H;a+b),(C;c)}

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 19:09

Où placez-vous le point G  ?

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 19:13

D'après mon hypothèse G serait dans le triangle ABC mais je n'arrive pas à savoir où précisément

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 19:18

Peut-être soyez plus explicite


a+b\not =0 soit H le barycentre de Aa Bb

a\vec{HA}+b\vec{HB}=\vec{0}

a\vec{GA}+b\vec{GB}=(a+b)\vec{GH}

 a+b+c\not=0

G barycentre de Aa Bb Cc

a\vec{GA}+b\vec{GB}+c\vec{GC}=\vec{0}

\underbrace{a\vec{GA}+b\vec{GB}}_{(a+b)\vec{GH}}+c\vec{GC}=\vec{0}

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 19:21

Ah oui c'est vrai que c'est beaucoup plus clair merci beaucoup

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 19:22

Auriez-vous le temps de m'aider pour le A ? Je sais qu'il est tard et vous m'avez déjà donné beaucoup de votre temps

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 19:22

toujours le même principe

\vec{GK}+\vec{GC}=\vec{0}

\vec{GK}+\vec{GK}+\vec{KC}=\vec{0}

2\vec{GK}+\vec{KC}=\vec{0}

\vec{KG}=\dfrac{1}{2}\vec{KC}

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 19:24

Vous parlez pour quoi ?

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 19:29

Que proposez-vous   c'est le même problème  que B

1 3-3=0 donc pas de barycentre  

2 a\vec{GA}+b\vec{GB}=\vec{0}

a\vec{GA}+b\vec{GA}+b\vec{AB}=\vec{0}

(a+b)\vec{GA}+b\vec{AB}=\vec{0} à poursuivre  


il existe donc un point G appartenant à la droite (AB) tel que son abscisse dans le repère (A, B) soit

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 19:30

Vous vouliez la construction de G  Partie B 3

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 19:34

Une construction

Barycentre

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 20:04

19:29
C'est pour trouver 3HA-3HB=0 ?

Posté par
Nonorigolo
re : Barycentre 09-10-21 à 20:07

Ah non je n'avais pas vu le 1 devant donc là on est au 2 du À

Posté par
hekla
re : Barycentre 09-10-21 à 20:16

19 :29 partie A

le reste partie B

Posez vos questions sur la partie B je reviendrais sur la partie A après

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