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barycentre
Coucou voila mon problème :
ABC est un triangle isocèle en A, de hauteur [AH], tel que AH=BC=4
G : (A,2) (B,1) (C,1)
M désigne un point quelconque.
1a) Prouvez que le vecteur V= 2MA-MB-MC (en vecteur) est un vecteur de
norme 8.
1b) Trouvez l'ensemble (E1) des points M du plan tels que ll2MA+MB+MCll=llVll
(en vecteur)
2On considère les points pondérés (A,2), (B,n) (C,n) où n est un entier
naturel fixé.
a)Démontrer que le barycentre Gn de ces points pondérés existe. Placez G0,G1,
G2.
b)Prouvez que Gn appartient au segment [AH]
c)Calculez la distance AGn en fonction de n.
Quelle est la limite de AG,n quand n tend vers +inf ?
Précisez la position limite du point Gn quand n tend vers +inf.
d)(En) est l'ensemble des point M du plan tels que ll2MA+nMB+nMCll=nllVll.
Prouvez que (En) esyt un cercle qui passe par A
Précisez son centre et son rayon noté Rn
Merci pour le temps que vous allez passer dessus et merci de me mettre
du détail pour que je comprenne bien.
Bonsoir,
1a) V= 2MA-MB-MC
V= MA+MA+BM+CM
V=BA+CA=2HA (en vecteur)
La norme de V est donc le double de la longueur HA soit 2*4=8.
1b) ll2MA+MB+MCll=llVll
2MA+MB+MC=2MG+2GA+MG+GB+MG+GC
Or 2GA+GB+GC=0
Donc 2MA+MB+MC=4MG
ll2MA+MB+MCll=llVll ssi 4MG=8 soit MG=2
Donc (E1) est le cercle de centre G et de rayon 2.
2)
a) Gn existe si 2+n+n différent de 0 or 2+2n>0 donc Gn existe.
G0=A
G1=G
G2= isobaycentre de A,B,C donc le centre de gravité de ABC.
b)Gn peut s'écrire par associativité du barycentre comme le barycentre
de (A;2)(H;2n) donc Gn appartient au segment [AH].
c) 2GnA+2nGH=0
DOnc GnA+nGnA+nAH=0
Soit AGn=n/(n+1) AH (en vecteurs)
Donc la distance AGn en fonction de n est 4n/(n+1) car AH=4.
Quand n tend vers +inf, AGn a pour limite 4
car lim(n->+inf)(n/(n+1))=1
La position limite du point Gn quand n tend vers +inf est le point H
car AGn a pour limite 4 et Gn appartient à [AH].
d)ll2MA+nMB+nMCll=nllVll.
ssi (2+2n)MGn=8n
ssi MGn=8n/(2+2n)=4n/(1+n)=AGn
(En) est donc le cercle Gn qui passe par A donc de rayon
Rn=4n/(1+n).
En espérant avoir été clair,
@+
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