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Barycentre, a rendre pour lundi, aidez moi SVP

Posté par kim-jenny (invité) 20-11-04 à 00:14

Soit ABCD un quadrilatère quelconque.
On appelle I et J les barycentres respectifs de {(A,2) (B,1)} et {(A,1) (B,2)}.
K et L désignent les barycentres respectifs de {(C,2) (D,1)} er {(C,1) (D,2)}.
On appelle M,N,O,P les milieux respectifs des segments [AD],[IL],[JK],[BC].

1° Démontrer les égalités vectorielles 2MP= AB+DC ET 2MN= AI +DL
2° Prouver que MN= 1/3 MP   et   MN= 2/3 MP
En déduire que N est le barycentre de {(M,a)(P,b)} et O le barycentre de {(M,b) (P,a)} avec des coefficients a et b que l'on précisera.

Posté par
Revelli
re : Barycentre, a rendre pour lundi, aidez moi SVP 20-11-04 à 06:54

Commences par dessiner ton quadrilatère ABCD

On doit ensuite écrire toutes les relations résultant de l'énoncé, à savoir :

Pour les barycentres I, J , K et L avec les pondérations des points correspondantes

2*\vec{IA} + 1*\vec{IB} = \vec{0}
1*\vec{JA} + 2*\vec{JB} = \vec{0}
2*\vec{KC} + 1*\vec{KD} = \vec{0}
1*\vec{LC} + 2*\vec{LD} = \vec{0}

Cela veut aussi dire que :

\vec{AI} = 1/2*\vec{IB} = 1/3*\vec{AB}

Trouves les autres relations pour J, K et L et utilise les pour positionner ces points sur le dessin de ton quadrilatère ABCD.

Pour les milieux de segments M, N, O, P qui sont aussi des barycentres en affectant le même poids aux deux points du segment, par exemple 1

1*\vec{MA} + 1*\vec{MD} = \vec{0}
1*\vec{NI} + 1*\vec{NL} = \vec{0}
1*\vec{OJ} + 1*\vec{OK} = \vec{0}
1*\vec{PB} + 1*\vec{PC} = \vec{0}

En tant que milieux, on peut aussi écrire :

\vec{MA} = -\vec{MD} = -1/2*\vec{AD} = 1/2*\vec{DA}

Idem pour les autres milieux

1) a/ \vec{MP} peut être décomposé de 2 façons, enutilisant soit \vec{AB} soit \vec{DC}

Donc
soit
\vec{MP}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BP}
ou soit
\vec{MP}=\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CP}

En additionnant ces 2 équations, tu obtiens :

\vec{MP}+\vec{MP}=(\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BP})+(\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CP})

ce qui s'écrit aussi

2*\vec{MP}=(\vec{MA}+\vec{MD})+(\vec{AB}+\vec{DC})+(\vec{BP}+\vec{CP})

soit encore

2*\vec{MP}=(\vec{MA}+\vec{MD})+(\vec{AB}+\vec{DC})-(\vec{PB}+\vec{PC})

soit, en utilisant les relations initiales résultant de l'énoncé

2*\vec{MP}=(\vec{0})+(\vec{AB}+\vec{DC})-(\vec{0})


b\ A toi de faire la même démonstration pour \vec{MN}

2) Es-tu sûr(e) de ton énoncé car MN ne peut pas à la fois être égal à 1/3 MP et 2/3 MP?

a/ Prenons MN= 1/3 * MP

Pour cela on va remplacer AI et DL par leur valeur en fonction de AB et de CD

On doit trouver ; 2*\vec{MN}=1/3*\vec{AB}+1/3*\vec{DC}

soit encore : 2*\vec{MN}=1/3*(\vec{AB}+\vec{DC})

soit enfin : 2*\vec{MN}=1/3*(2*\vec{MP})

càd : \vec{MN}=1/3*\vec{MP}

Fais de même pour l'autre égalité

Puis compares ces 2 égalités avec certaines égalités initiales qui sont du même type pour conclure sur les poids a et b.

Bon courage

Posté par kim-jenny (invité)re : Barycentre, a rendre pour lundi, aidez moi SVP 20-11-04 à 10:54

merci beucoup et j'ai effectivement mal recopier mon enoncer, la faute était vecteurs MO=2/3 MP

Posté par kim-jenny (invité)re : Barycentre, a rendre pour lundi, aidez moi SVP 20-11-04 à 14:42

je n'ai pas compris quelque chose

Posté par
Revelli
re : Barycentre, a rendre pour lundi, aidez moi SVP 20-11-04 à 15:12

Que n'as tu pas compris?

Posté par kim-jenny (invité)re : Barycentre, a rendre pour lundi, aidez moi SVP 20-11-04 à 17:16

merci j'ai trouvé c'était pour la demonstration de MO=2/3MP et pour déterminer les coefficient a et b, pour les déterminers j'ai pris les égalités vectorielle MO=2/3MP et MN=1/3MP et à partir de cela j'ai fait le calcul en dévellopent à l'inverse grâce à la relation de Chasles.    



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