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barycentre compliqué+

Posté par
falljunior
04-12-12 à 20:55

soit P bary (A,x) (B,y) (C,z)
demontrer que P est un point de la droite (A'C') si et seulement si bcx+cxy+abz

données:
A' bary (A,0) (B,b) (C,-c)
B' bary (A,-a) (B,0) (C,c)
C' bary (A,a) (B,-b) (C,0)

données a partir des reponses precedentes:
M bary (A';b-c) (B'; c-a) (C'; a-b)
A' bary (B'; c-a) (C'; a-b)

Posté par
falljunior
erreur 04-12-12 à 21:57

jai fait une erreur c bcx+cxy+abz=0

Posté par
snutile
barycentre - isobarycentre 05-12-12 à 10:02

Bonjour,

P barycentre de A, B, C ssi la somme des vecteurs xPA + yPB + zPC = 0 (vecteur nul) et x + y + z # 0 (réels)

A bientôt

Posté par
dhalte
re : barycentre compliqué+ 05-12-12 à 11:06

tua s fait une seconde erreur : la condition pour que P soit sur la droite est

bcx + cay + abz = 0

Posté par
snutile
re : barycentre compliqué+ 05-12-12 à 13:56

Bonjour,
Orige 0 du plan

P = bar [ (A,a) , (B,b) , (C,c) ]
aPA + bPB + cPC = V un vecteur
En prenant
P en A , on a V = b*AB + c*AC
P en C, on a V = a*CA + b*CB

avec
Vecteurs
AA' = 1 / (b-c)[ b*AB + c*AC ]
CC' = 1 / (a-b)[ a*CA + b*CB ]

AA' collinéaire à CC'
ssi b*AB + c*AC = a*CA + b*CB => a + b + c = 0 et comme P barycentre de AA', puis de CC'alors  => P est aligné sur A'C' (AC) droite


A bientôt.

Posté par
dhalte
re : barycentre compliqué+ 05-12-12 à 14:06

je n'ai rien compris à tes explications.

l'énoncé ne dit-il pas que P est barycentre de (A,x), (B,y), (C,z) ?
pourquoi dis-tu alors que P barycentre de (A,a), (B,b), (C,c) ?

puis après, pourquoi dis-tu que \vec{AA'} et \vec{CC'} sont colinéaires ?

P barycentre de AA' ? de CC' ? ça sort d'où ?

c'est gentil de vouloir aider...

Posté par
falljunior
re : barycentre compliqué+ 05-12-12 à 14:25

la demarche est interessante... sauf kil ya incomprehension comme le souligne mon frere dhalte.
pouvez-vous etre plus clair s'il vous plait?

Posté par
dhalte
re : barycentre compliqué+ 05-12-12 à 16:30

euh, la dénomination "frère" demande à être confirmée (en tout cas, elle a un coté œcuménique qui tombe totalement à coté de la plaque)

rappel sur les barycentres et leurs règles de calcul

un couple (A,a) formé d'un point et d'un réel est appelé point pondéré, ou point massique. 'a' est appelée la masse (parfois le poids) du point A. Tout cela a évidemment un lien avec la mécanique vue en cours de physique.

G est appelé barycentre affecté de la masse (a+b+c) du système de points pondérés (A,a), (B,b), (C,c) si G vérifie la relation vectorielle
a\vec{GA}+b\vec{GB}+c\vec{GC}=\vec0

Evidemment, on ne se limite pas à 3 points pondérés, la définition et la relation restent valides quel que soit le nombre de points.

En utilisant Chasles et en introduisant un point arbitraire O, on établit facilement la relation équivalente


Cette équation d'inconnue G n'a pas de solution en général si a+b+c=0

Je dis en général, parce que si A=B=C, par exemple, tout point du plan est solution. On écarte donc ces cas "limites".

Dans le cas où a+b+c\neq0, la position de G est donnée par l'équation
\vec{OG}=\frac a{a+b+c}\vec{OA}+\frac b{a+b+c}\vec{OB}+\frac c{a+b+c}\vec{OC}
On peut ensuite choisir astucieusement O pour pouvoir tracer G.

Règle de proportionnalité : on peut multiplier les masses par une même constante \lambda\neq0, le barycentre reste le même, sa masse est elle-même multipliée par \lambda
c'est immédiat :
[\lambda(a+b+c)]\vec{OG}=\lambda a\vec{OA}+\lambda b\vec{OB}+\lambda c\vec{OC}

Règle des sous-systèmes
si G est barycentre du système (A,a), (B,b), (C,c) et que G' est barycentre du système (A,a), (B,b), alors G est barycentre de (G',a+b), (C,c) et inversement.
On peut remplacer un point par un sous-système dont il est le barycentre, et inversement, à condition de respecter les masses.

Sais-tu qu'on peut modéliser ces règles en termes d'équations ?
Traduction :
G est appelé barycentre affecté de la masse (a+b+c) du système de points pondérés (A,a), (B,b), (C,c)
s'écrit
(a+b+c)G=aA+bB+cC
compare avec :
(a+b+c)\vec{OG}=a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}
On a simplement omis de faire figurer le point O

alors la règle de proportionnalité devient :
(a+b+c)G=aA+bB+cC
est équivalent à
[\lambda(a+b+c)]G=\lambda aA+\lambda bB+\lambda cC

et la règle des sous-systèmes :
(a+b+c)G=aA+bB+cC

(a+b)G'=aA+bB

(a+b+c)G=(a+b)G'+cC

tu vas pouvoir t'habituer à ces drôles de règles dans l'exercice qu'on t'a donné

A' bary (A,0) (B,b) (C,-c)
B' bary (A,-a) (B,0) (C,c)
C' bary (A,a) (B,-b) (C,0)

traduction :
(b-c)A'=bB-cC
(c-a)B'=-aA+cC
(a-b)C'=aA-bB

Conditions d'existence : a\neq b,\;b\neq c,\; c\neq a

si j'additionne les deux premières relations (règle des sous-systèmes), j'obtiens :
(b-c)A'+(c-a)B'=bB-aA

mais le membre de droite est équivalent à celui de la troisième équation, au facteur -1 près, et là, j'utilise la règle de proportionnalité
(b-c)A'+(c-a)B'=bB-aA=-(a-b)C'

et finalement :
(b-a)C'=(b-c)A'+(c-a)B'

interprétation de cette relation :
C' affecté de la masse b-a est barycentre du système (A',b-c), (B', c-a)

on retrouve ton résultat intermédiaire.
interprétation de l'interprétation : le barycentre de deux points est sur la droite qui passe par ces deux points : C' est sur (A'B')

A', B' et C' sont alignés.
barycentre compliqué+
(c'est l'équivalent vu des barycentres du théorème de Ménélaüs, établi il y a environ 2000 ans)

Venons-en à la deuxième partie :
P barycentre de (A,x), (B,y), (C,z) se traduit par
(x+y+z)P = xA+yB+zC
condition d'existence : x+y+z\neq0

règle de proportionnalité, je multiplie toutes les masses par ab
(RQ : si a est nul, alors b et c ne peuvent l'être, et on multiplierait par bc pour faire le raisonnement)

ab(x+y+z)P = xb aA + ya bB + zab C
et je vais remplacer aA et bB par leur expression issue des relations précédentes :

(b-c)A'=bB-cC est équivalente à bB = (b-c)A'+cC
(c-a)B'=-aA+cC est équivalente à aA = (c-a)B'+cC

ab(x+y+z)P = xb aA + ya bB + zab C
devient alors
ab(x+y+z)P = xb [(c-a)B'+cC] + ya [(b-c)A'+cC] + zab C

et on factorise les masses des différents points :
ab(x+y+z)P = xb(c-a)B'+ya(b-c)A' +[xbc+yac+zab]C

On voit que P est barycentre du système (B',xb(c-a)), (A',ya(b-c)), (C,xbc+yac+zab)

si P est sur la droite (A'B'), alors la masse de C doit être nulle : xbc+yac+zab=0
en effet, P sur la droite (A'B') implique qu'il est barycentre d'un système formé des points A' et B' avec une certaine masse. Si on ajoute à ce système un point C hors de la droite (A'B') affecté d'une masse non nulle, le barycentre ne peut plus être sur cette droite.

et inversement, si elle est nulle, alors P est sur la droite (A'B'), c'est immédiat

tu peux faire tout le raisonnement à partir des vecteurs, avec le point O dont je parlais tout à l'heure.
Les équations sont les mêmes, en plus lourd.



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