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barycentre coordonees

Posté par
mamadou
07-11-14 à 14:29

bonjour à tous;

j'ai une question : est-ce que on peut utiliser les coordonnées dans un référentiel qu'on choisis  pour demontrer qu'un point est le barycentre de ces points ?

je vous donne un exemple : soit ABCD un parallélogramme: G est le barycentre de {(A,1);(B,1);(C,1)}.
                                                         K est le barycentre de {(C,-1);(B,1);(A,1)}.

demontrez que K est le barycentre {(G,3);(C,-2)}.

donc j'ai pris le référentiel : (A;\vec{AB};\vec{AD}).

apres quelques calculs j'ai trouvé ces coordonées dans le referentiel en haut : A(0;0) B(1;0) C(1;1) D(0;1) K(0;-1)
                                                                                 G(2/3 ; 1/3)

puis pour demontrer que que K est le barycentre {(G,3);(C,-2)} j'ai voulu demontrer que :

0= (3xG - 2xC)/1    et 0= (3yG-2yC)/1 donc : xK=(3xG - 2xC)/1 et yK=(3yG-2yC)/1.

est-ce que ce raisonnement est juste ?

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 14:30

pardon en haut c'est: le référentiel (A;AB;AD).

Posté par
flight
re : barycentre coordonees 07-11-14 à 14:53

salut

GA+GB+GC = 0

-KC+KB+KA = 0

de la premiere equation on peut ecrire que  3GK + KA+KB+KC = 0  soit encor d'apres la seconde équation

3GK + 2KC = 0  soit  3KG - 2KC =0  et donc K est barycentre de G,3 et C,-2

Posté par
edualc
re : barycentre coordonees 07-11-14 à 14:56

bonjour,

La démonstration me semble juste.

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 15:15

@ flight merci, mais je voulais juste savoir si mon raisonnement tien la route : si les coordonnées que j'ai calculé sont les mêmes que celle du barycentre K dans le référentiel que j'ai choisi alors peut-on dire que K est le barycentre de ces points ?

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 15:19

de maniere generale est-ce que :

si: xG= (.xA + .xB+.xC)/(++)  ; yG= (.yA + .yB + .yC)/(++) dans n'importe quel referentiel, alors G est le barycentre de
{(A,);(B,);(C,)). est-ce que cette équivalence est vrai ?

Posté par
flight
re : barycentre coordonees 07-11-14 à 16:05

si tu veux exprimer les coordonnées de G dans le referentiel A,AB,AD

tu pars de l'expression  GA+GB+GC = 0  puis tu ecris en passant par A que  3GA + AB + AC = 0 comme AC = AB+AD

(voir parallélogramme) alors  3GA + AB + (AB+AD) = 0    soit donc   3GA + 2AB +AD = 0  et donc

AG = 2/3.AB + 1/3.AD  et les coordonnées de G dans A,AB,AD sont G(2/3,1/3)

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 16:50

je veux juste savoir si la relation que j'ai écrits à 15:19 est vrai.

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 16:52

en haut à 15:19 les points A ,B ,C ,G  designent des points de manière generale.

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 20:26

bon en résumé ; est -ce que la propriété que j'ai écrits en bas est juste ? :

re

Posté par
lafol Moderateur
re : barycentre coordonees 07-11-14 à 20:50

la propriété que TU AS écrite ? dis plutôt que tu as copiée collée ....
est-ce quye tu sais ce que signifie : "M a pour coordonnées (x,y) dans le repère (0, \vec{\imath},\vec{\jmath})" ? si oui, tu sais répondre à ta question ...

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 21:21

salut lafol , en fait c'est vrai la "propriété" en haut je l'ai prise du forum et inverser les morceaux avec paint,

M a pour coordonées (x,y) dans le repere (o;i;j) =>    \vec{OM} = x.+y..

mais je ne peux toujours pas repondre à cette question.

Posté par
lafol Moderateur
re : barycentre coordonees 07-11-14 à 21:24

traduis la ligne du haut, Chasles, et tu auras ta conclusion ....

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 21:30

"traduis"? et quelle ligne?

Posté par
lafol Moderateur
re : barycentre coordonees 07-11-14 à 21:39

x_G=\dfrac{a_1x_1+\cdots +a_nx_n}{a_1+\cdots +a_n} etc : traduis le en \vec{OG} = ...

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 21:54

ah ok,

donc; \vec{OG}=  1/(a1+a2+a3)(\vec{OA1} + \vec{OA2} + \vec{OA3})

PS: j'ai pris juste A1, A2 ,A3 pour simplifier les choses.

donc je dois démontrer que : \vec{GA1}+\vec{GA2}+\vec{GA3} = \vec{0}

je suis arrivé à : \vec{2OG}+(1/(a1+a2+a3)) .(\vec{A1}+\vec{A2}+\vec{A3} = \vec{0}

puis je bloque ...

Posté par
lafol Moderateur
re : barycentre coordonees 07-11-14 à 21:57

non ... c'est plutôt : donc (a_1 +\cdots +a_n)\vec{OG} = a_1\vec{OA_1}+\cdots +a_n\vec{OA_n}

Chasles (a_1 +\cdots +a_n)\vec{OG} = a_1(\vec{OG}+\vec{GA_1})+\cdots +a_n(\vec{OG}+\vec{GA_n})

simplifie ce qui peut l'être, conclusion ?

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 22:09

j'ai trouvé :

je dois demontrer que : a1.GA1 + a2.GA2 + a3.GA3 =0

donc on a: OG = (1/(a1+a2+a3))(a1.OA1 + a2.OA2 + a3.OA3)

donc : (a1+a2+a3).OG = a1.OA1 + a2.OA2 + a3.OA3

donc: (a1+a2+a3).OG -(a1.OA1 + a2.OA2 + a3.OA3) = 0

donc : (a1+a2+a3).OG- (a1.OG+a1.GA1 + a2.OG+a2.GA2 + a3.OG+a3.GA3)=0

donc: (a1+a2+a3).OG-(a1+a2+a3).OG -(a1.GA1 + a2.GA2 + a3.GA3)=0

donc: a1.GA1 + a2.GA2 + a3.GA3 = 0.

donc: la relation en haut est vrai ?

ps: pardon pour les fleches vecteurs.

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 22:11

pardon ; d'abord je deduis que G est le barycentre de {(A,a1);(A2,a2);(A3;a3)} . donc la relation en haut est vrai?

Posté par
lafol Moderateur
re : barycentre coordonees 07-11-14 à 22:29

voilà, c'est ça !

Posté par
mamadou
re 07-11-14 à 22:31

ok.merci beaucoup.



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