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Barycentre dans l espace
Bonjour j'auré bsoin d'aide pour cet exerice:
ABCD est un tétraèdre régulier. On appelle A', B', C' et D' les centres de gravités respectifs de BCD , CDA , DAB et ABC. B'' est l milieu de [CD], C'' de [BD] et D'' de [BC].
1) Démontrer que les droites (AA'), (BB'), (CC') et (DD') sont concourantes.
2) Démontrer que la droite (AA') est perpendiculaire au plan (BCD) . Préciser en fonction de la longuer a de l'arête, la longuer AA'.Quel est en fonction de a , le volume du tétraèdre régulier?
Bonjour
j'écris des vecteurs (sauf précision particulière)
si G est le centre de gravité du tétraèdre
GA+GB+GC+GD=0
A' centre de gravité du triangle BCD
A'B+A'C+A'D=0
=A'G+GB+A'G+GC+A'G+GD=0
=3A'G+GB+GC+GD=0
de la 1ère relation on écrit
AG=GB+GC+GD
3A'G+AG=0
GA+3G'A=0
donc AA' passe par G centre de gravité du tétraèdre.
Tu montres de la même façon que BB';CC';DD' passent par G.
les droites (AA');(BB');(CC');(DD') sont donc concourantes et le point d'intersection commun est donc le centre de gravité du tétraèdre.
2) dans (BCD) (BI) perpendiculaire à (CD)
dans (ACD) (AI) perpendiculaire à (CD)
donc le plan ABI est perpendiculaire à (BC) et en particulier (AA') puisque A' étant sur (BI) (AA') est dans le plan (ABI)
tu fais pareil avec les autres milieux C" et D" et tu montres ainsi que (AA') est successivement perpendiculaire à (BD) et (BC) donc au plan (BCD)
la fin est du calcul simple avec Pythagore.
tu sais que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a est a
3/2
et tu sais que le centre de gravité est au 2/3 de la médiane, à partir du sommet.
donc par exemple [BA']=2/3*a3/2
=33
et tu calcules AA'dans le triangle rectangle BAA'(rectangle en A')
Bon travail
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