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barycentre dans l'espace au secours!!

Posté par Mel 3 (invité) 19-11-06 à 11:19

bonjour, j'ai un exercice qui me pose problème.
Dans l'espace:
ABCDEFGH est un cube. Démontrer que le lieu géométrique des points M de l'espace tels que (la norme des vecteurs)MA-MB+MC= (à la norme des vecteurs) MA-2MB+MC  est une sphère de centre D qui passe par trois sommets du cube que l'on précisera.

Je ne comprends pas ce qu'il faut faire , j'ai besion d'aide au secours.
MERCI à ceux qui pourront m'aider.

Posté par
mouss33
re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 11:41

tu n'as pa d'autre information? par exemple, on te donne des barycentre ou pas?

Posté par
cqfd67
re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 11:48

bonjour,

Soit G le bary {(A,1);(B,-1), C,1)}

on a pour tout point M de l espace:
MA-MB+MC=2MG

de plus MA-2MB+MC= MA+2BM+MC=(MB+BA)+2BM+(MB+BC)
                            =BA+BC
                            
Soit I le milieu de [AC] on a donc BA+BC=2BI
on a donc

||MA-MB+MC||=||MA-2MB+MC||
||2MG||     =  ||2BI||

donc ||MG||=||BI||

M appartient a la sphere de centre G et de rayon BI

remarque: on peut calculer la longueur BI en fonction de la longueur du cote de cube si on sait comment sont placés les points.
                            

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 11:50

Bonjour,

Première remarque facile : M=B vérifie l'équation, donc B appartient au lieu géométrique.

Ensuite, considérons le barycentre de A,1 B-,1 C,1
N'est-ce pas... le point D ?
Dans ce cas, l'équation devient :
||MD|| = ||MA-2MB+MC||
Dans le membre de droite, la somme des coefficients est nulle. C'est donc la norme d'un vecteur constant.
On trouve bien une sphère de centre D.
Reste à trouver son rayon, et les 3 points par lesquels elle passe.

Posté par Mel 3 (invité)re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:19

Désolé cqfd67 et Nicolas je comprends pas vos explications vous pouvez pas expliquer par étape en expliquant ce que vous faite pour que je comprenne??

Posté par
cqfd67
re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:21

Pour ma part qu'est ce que tu comprends pas?
Je tiens à signaler que l'ile n'est pas fait pour donner une rédaction parfaite qui suffirais de recopier  pour un DM.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:27

Idem pour moi. Je suis prêt à répondre à tes questions... précises.

Posté par Mel 3 (invité)re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:28

en fait ce que je ne comprend pas est ton point G  et le point I qui est milieu de AC,ils sort d'où ces points ?

Posté par Mel 3 (invité)re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:40

c'est pour un exercice en classe et pas pour un DM

Posté par
cqfd67
re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:41

quand tu as une egalité vectorielle qui est vrai pour tous les points M, generalement il faut penser au barycentre.

Pour trouver les coefficients j ai juste pris les coefficients en gras de 1MA-1MB+1MC

Ensuite comme a dit Nicolas (bonjour) on va montrer que le point G et le point D sont confondus.

DA-DB+DC=DA+BD+DC=BA+DC

comme ABCD est un carré, les vecteurs BA et DC sont opposés donc BA+DC=0

donc D est bien le barycentre de (A,1) (B,-1) (C,1)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:42

Bonjour cqfd67

Posté par
cqfd67
re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:44

pour le point I, je me suis un peu compliqué la vie

Citation :
MA-2MB+MC= MA+2BM+MC=(MB+BA)+2BM+(MB+BC)
                            =BA+BC


comme ABCD est un carré on a BC=AD
donc

MA-2MB+MC=BA+AD=BD

donc M appartient a la sphere de centre D et de rayon BD

Posté par Mel 3 (invité)re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:48

ya juste un truc que je ve savoir quand tu marque DA-DB+DC=DA+BD+DC=BA+BC  en fait t'as remplacé MA+MB+MC par DA-DB+DC ?

Posté par
cqfd67
re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:50

pour montrer qu'un point est un barycentre d autre points il faut montrer que la somme des vecteurs affectes des bon coefficient est nulle

c est a dire si je montre que DA-DB+DC=0 alors D est le bary de (A,1); (B,-1), (C,1)

Posté par Mel 3 (invité)re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:53

Ok ,j'ai compris merci de ton aide.

Posté par
cqfd67
re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 12:54

mais de rien
A la prochaine sur l'ile

Posté par Mel 3 (invité)re : barycentre dans l'espace au secours!! 19-11-06 à 13:02

Merci, à la prochaine

Posté par
azer56
Merci ! 28-10-15 à 15:29

Merci à tous ceux qui donnent des explications et de l'aide ! Presque 9 ans après, vos réponses m'ont aidée avec un exercice sur lequel je bloquais !
Bonne journée !

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre dans l'espace au secours!! 28-10-15 à 16:39

Avec plaisir !



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