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Barycentre, DM.

Posté par
megan414
26-03-11 à 10:40

Bonjour, j''aurais aimé avoir un petit coup de main sur un DM de Mathématiques, sur les Barycentres..

Voici l'exercice :

ABC est un triangle isocèle en A, de hauteur [AH], tel que AH=BC=4 (unité : 1cm)
1) PLacez le point G barycentre des points pondérés (A;2), (B;1), (C;1).
2) M désigne un point quelconque.
a- Prouvez que le vecteur V = 2MA-MB-MC est un vecteur de norme 8.
b- Trouvez l'ensemble E1, des points M du plan tels que //2MA + MB +MC// = //V//. TRacez E1.

3) On considère les points pondérés (A;2), (B;n) et (C;n), où n est un entier naturel fixé.
a- Démontrez que le barycentre Gn appartient au segment [AH].
c- Calculez la distance AGn en fonction de n. Quelle est la limite de AGn quand n tend vers + oo (plus l'infini) ?
Précisez la position limite du point Gn quand n tend vers +oo.
d- E(n) est l'ensemble des points M du plan tels que //2MA + nMB +nMC// = n// V //.
Prouvez que E(n) est un cercle qui passe par A. Préciez son centre et son rayon noté Rn. Construisez E2.


Avec //, représentant la Norme.


J'espère que quelqu'un pourra m'aider, surtout pour le 3) . Après pour les schémas, j'essaierais de me débrouiller, mais c'est surtout pour les calculs.
Merci d'avance

Posté par
Priam
re : Barycentre, DM. 26-03-11 à 11:19

Où en es-tu ? As-tu placé le point G ?

Posté par
megan414
re : Barycentre, DM. 26-03-11 à 11:59

Eh bien, je ne suis pas sur de mon placement. Je ne sais pas s'il faut que je place G avec ses données, ou si je le place par associativité avec H.
Je me suis peut-être trompé, mais quand j'essaie les deux façons, G n'est pas au même endroit.
Quand j'utilise l'associativité avec H, je trouve à la fin AG = 1/2AH
et, quand j'utilise les données je trouve AG = 1/4AB + 1/4AC  ..
:/

Posté par
Priam
re : Barycentre, DM. 26-03-11 à 14:20

Est-ce que ce ne serait pas la même chose ?

Posté par
megan414
re : Barycentre, DM. 26-03-11 à 18:10

Eh bien... Je dois pas savoir placer mes points alors ^^.
Mais est-ce que G est au milieu de AH ?

Et surtout pour le 3.), j'arrive pas du tout à répondre au question, et je dois rendre ce devoir pour lundi.. :s c'est embetant.

Posté par
Priam
re : Barycentre, DM. 26-03-11 à 19:21

Oui, G est au milieu de AH.
3) Gn est barycentre des points (A,2),(B,n),(C,n). Fais ici intervenir le point H, isobarycentre des points B et C, puis écris la relation vectorielle correspondante.

Posté par
megan414
re : Barycentre, DM. 27-03-11 à 17:55

a

Posté par
megan414
re : Barycentre, DM. 27-03-11 à 17:57

Ah oui, je comprend pour ça. Mais pour le 3b), où il faut calculer la distance AGn en fonction de n ?
On utilise G=bar {(A,2),(H;2)} ? mais y'aura plus n dans ce cas la ?

Posté par
Priam
re : Barycentre, DM. 27-03-11 à 18:29

Sachant que H est barycentre de (B,1),(C,1), par quoi peux tu remplacer (B,n),(C,n) dans la définition de Gn ?

Posté par
megan414
re : Barycentre, DM. 27-03-11 à 19:03

Alors on remplace (B;n) et (C;n) pâr (B;1) et (C;1) ?

donc après, on  calcule par rapport à G qui est barycentre de (A;2), (B,1) (C;1)

2GA + GB + GC = 0
4GA = -AB -AC
GA = -1/4AB -1/4AC
AG = 1/4Ab + 1/4AC

mais c'est pas en fonction de n, dans la formule on devrait trouver n.
Vous auriez pas la solution s'il vous plait ?

Posté par
Priam
re : Barycentre, DM. 27-03-11 à 19:44

Non, on remplace (B,n),(C,n) par (H,2n).

Posté par
megan414
re : Barycentre, DM. 27-03-11 à 21:03

Je vois, mais après on trouve ça

2GA + 2nGA + 2nAH = 0
Si je simplifie sa ferait ça : 2(GA + nGA +nAH) = 0
mais sa m'avance pas, parce que je vois pas comment finir le calcul ??

Posté par
Priam
re : Barycentre, DM. 27-03-11 à 21:52

???
Quand tu fais le remplacement que je t'ai indiqué, tu obtiens   Gn bar(A,2),(H,2n) , soit  Gn bar(A,1),(H,n), ce qui prouve que le point  Gn  appartient au segment [AH].

Posté par
megan414
re : Barycentre, DM. 27-03-11 à 22:35

ah oui, ça d'accord, mais pour calculer AGn ??

Posté par
Priam
re : Barycentre, DM. 27-03-11 à 22:38

Ecris la relation vectorielle traduisant  Gn bar ....

Posté par
megan414
re : Barycentre, DM. 27-03-11 à 22:49

Mais on trouve en vecteur :

AGn = 1/2AHn

Mais la distance ?

Posté par
Priam
re : Barycentre, DM. 28-03-11 à 10:24

???
Cette relation vectorielle que je te demandais d'écrire, c'est  GnA + nGnH = 0 , d'où on peut déduire la distance AGn.



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