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Barycentre et centre d'inertie
ABC est un triangle, I est le centre du cercle inscrit dans ABC. On note AB = c, BC = a et AC = b.
On sait que le barycentre de {(A;1),(B;1),(C;1)} se situe au centre de gravité du triangle ABC. On cherche maintenant où se situe le point K, barycentre de {(A;a),(B;b),(C;c)}.
Un exemple :
Construire le triangle ABC dans les cas où a = 8, b = 10 et c = 12.
Construire le point K, barycentre de {(A;8),(B;10),(C;12)}.
Cas général :
K est le barycentre de {(A;a),(B;b),(C;c)}.
On appelle T le barycentre de {(B;b),(C;c)}
1) Justifier que le point T est sur le segment [BC].
2) Exprimer le vecteur TC en fonction du vecteur TB, en déduire que TC/TB = b/c
3)La droite passant par C et parallèle à (AB) coupe la droite (AT) en D.
a) Justifier que l'angle BAD = l'angle ADC.
b) Justifier que CD/AB = b/c
c) En déduire que CD = CA puis que l'angle ADC = l'angle DAC
4)Justifier que la droite (AT) est la bissectrice de l'angle BAC.
5)Soit S le barycentre de {(A;a), (C;c)}. On admet que par un raisonnement analogue au précédent, on peut prouver que la droite (S) est la bissectrice de l'angle ABC.
Prouver à l'aide de ce qui précède que le point K est confondu avec le point I.
J'ai fait jusqu'à la question 3) a) mais je bloque pour la b) j'ai essayé plusieurs choses mais je ne trouve pas. je voudrais que l'on m'explique comment faire. Merci d'avance.
Et je voudrais avoir confirmation de ce que j'ai fait pour la 5). J'ai compris mais je ne sais pas si l'explication est possible.
J'ai mis: Si T est le barycentre de {(B;b),(C;c)} et S le barycentre de {(A;a);(C;c)} alors les droites qui joignent un sommet au barycentre, sont concourantes. Dans un triangles les bissectrices sont concourantes et le point de concours des bissectrices est le centre du cercle inscrit du triangle. Ici, c'est le centre de gravité du triangle ABC, le point I. K est le barycentre de {(A;a),(B;b),(C;c)} donc K se trouve à l'intersection des bissectrices donc K est confondu avec le point I.
Je pense que la fin n'est pas juste.
3)c) On a démontré l'égalité CD/AB = b/c. Or, d'après l'énoncé, on a CA/AB = b/c. Donc ....
5) Ton raisonnement me paraît un peu confus.
0n pourrait voir les choses ainsi :
Il résulte de ce qui précède que, T étant le barycentre des points (B,b),(C,c), (AT) est la bissectrice de l'angle BAC.
Par ailleurs, le point K, qui est barycentre des points (A,a),(B,b),(C,c), est aussi barycentre des points (A,a),(T,b+c). Il est donc situé sur la droite (AT).
Si l'on considère le point S barycentre des points (A,a),(C,c), le point K est de même sur la droite (BS), bissectrice de l'angle ABC.
Le point K est donc confondu avec le point de concours des bissectrices du triangle ABC.
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