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Barycentre et distances

Posté par
matheux14 08-09-20 à 14:52

Bonjour ,

Merci d'avance.

Dans le plan , on considère le triangle isocèle rectangle en A tel que AB=AC=6.

Soit D le symétrique de B par rapport à A et G est le point tel que : \vec{DG}=\dfrac{2}{3} \vec{AC}.

1) Faire une figure.

2) a- Démontrer que G est le barycentre du système  {(A , 4 ) ; (B , -3) ; (C, 2)}.

b- Calculer GA , GB et GC.

3) Soit (C) l'ensemble des points M du plan tels que : 4MA²-3MB²+2MC²=-144.

a- Démontrer que D appartient à l'ensemble (C).

b- Déterminer et construire (C).

4) Soit (∆) l'ensemble des points M du plan tels que : MA²-3MB²+2MC²= -36.

a- Démontrer que M appartient à (∆) \iff \vec{AM} . \vec{AG}=0.

b- Déterminer et construire (∆).

Réponses

1) Barycentre et distances

2-a) 4\vec{GA}-3\vec{GB}+2\vec{GC}=4\vec{GA}-3\vec{GA}-3\vec{AB}+2\vec{GA}+2\vec{AC}=3\vec{GA}+3\vec{BA}+2\vec{AC}=3\vec{GA}+5\vec{BC}.

Je ne vois plus quoi faire.

2-b) Soit le point E appartenant à [AC] tels que \vec{AE}=\dfrac{2}{3}\vec{AC}.

On a : * \vec{AE}=\vec{DG} donc (AE) // (DG).

(AD) // (GE) (AC).

* \vec{BA}=\vec{EC}.

Par conséquent le triangle ADG est rectangle en D et le triangle GEC est rectangle en E.

D'où :

* GE²+EC²=GC²

6²+2²=GC²

Il vient GC=2\sqrt{10}.

* GA²=GE²+AE²

GA²=6²+4²

Il vient GA=2\sqrt{13}

* \vec{BA}=\vec{EC}

Donc BAGE est un parallélogramme de diagonale [AE].

Notons I le milieu de [AE].

GB=GI+IB

D'après Pythagore dans le triangle GEI rectangle en E ,

GI=2\sqrt{10}

D'où GB=4\sqrt{10}.

Je n'arrive pas à faire les autres questions.

Posté par
Priamre : Barycentre et distances 08-09-20 à 15:28

Bonjour,
2.a) Je te suggère de considérer l'avant dernière expression (la dernière est fausse) et d'en diviser tous les termes par 3.

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 08-09-20 à 15:36

2-a) 4\vec{GA}-3\vec{GB}+2\vec{GC}=4\vec{GA}-3\vec{GA}-3\vec{AB}+2\vec{GA}+2\vec{AC}=\vec{GA}+\vec{BA}+\dfrac{2}{3}\vec{AC}=\vec{GA}+\vec{BA}+\vec{DG}=\vec{GA}+\vec{BG} +\vec{GA}+\vec{DG}=2\vec{GA}-\vec{GB}-\vec{GD}

Posté par
Priamre : Barycentre et distances 08-09-20 à 16:06

Pour la bonne règle, tu devrais multiplier et diviser par 3.
Le vecteur  2/3 AC n'est pas égal au vecteur DG.

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 08-09-20 à 16:26

...=\dfrac{3\vec{GA}+3\vec{BA}+2\vec{AC}}{3}=\vec{GA}+\vec{BA}+\dfrac{2}{3}\vec{AC}= \\

Pourquoi \vec{DG} \neq \dfrac{2}{3} \vec{AC}

Posté par
Priamre : Barycentre et distances 08-09-20 à 17:00

J'ai fait erreur. On a bien  DG = 2/3 AC .
A quoi est égal GA + BA ?

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 08-09-20 à 17:12

GA + BA

= GA +BG +GA

=BG + 2 GA

=3 BA

Posté par
Priamre : Barycentre et distances 08-09-20 à 17:17

Non.
Considère le parallélogramme ABEG.

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 08-09-20 à 17:23

GA + BA = EA

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 08-09-20 à 17:31

Ah ok , je viens de me rendre compte que ça donne bien 0..

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 08-09-20 à 20:07

3-a)Le triangle DAC est rectangle isocèle en D.

On a DA =AB =6 et DB=DA+AB=12.

D'où DC²=6\sqrt{2}.

D ∈ (C) \iff 4DA²-3DB²+2DC²=-144

4×6²-3×12²+2×(6\sqrt{2})²=288-432=-144.

Par conséquent D ∈ (C).

b) Pour tout point M du plan on a :

4MA²-3MB²+2MC²=-144

G=bar {(A,4) ; (B,-3) ; (C,2)}

\Rightarrow M ∈ (C) \iff 3MG²+4GA2-3GB²+2GC²=-144

\iff 3MG²+4(2√13)² -3(4√10)² +2(2√10)²=-144

\iff 3MG²-192=-144

\iff MG²=16

\iff MG=4

(C) est le cercle de centre G et de rayon 4 ou (C) est le cercle de centre G et de rayon GD.

4-a) Pour tout point M du plan on a :

MA²-3MB²+2MC²=-36

1-3+2=0 donc \vec{u}=\vec{MA} -3\vec{MB}+2\vec{MC} est indépendant du point M.

(\vec{MG}+\vec{GA})²-3(\vec{MG}+\vec{GB})²+2(\vec{MG}+\vec{GC})²=-36

MG²+2\vec{MG}.\vec{GA}+GA²-3MG²-6\vec{MG}.\vec{GB}-3GB²+2MG²+4\vec{MG}.\vec{GC}+2GC²

2\vec{MG}.(\vec{GA}-3\vec{GB})+GA²-3GB²+2GC²=-36

8\vec{MG}.\vec{BA}-348=-36.

[tex]8\vec{MG}.\vec{BA}=348-36[/tex

[tex]8\vec{MG}.\vec{BA}=312[/tex

Je ne vois pas où se situe le problème..

Posté par
pgeodre : Barycentre et distances 08-09-20 à 21:35

Pour 4-a)
Dans la factorisation le 4 \vec{MG}.\vec{GC} a disparu.

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 08-09-20 à 21:49

4-a) Pour tout point M du plan on a :

MA²-3MB²+2MC²=-36

1-3+2=0 donc \vec{u}=\vec{MA} -3\vec{MB}+2\vec{MC} est indépendant du point M.

(\vec{MG}+\vec{GA})²-3(\vec{MG}+\vec{GB})²+2(\vec{MG}+\vec{GC})²=-36

MG²+2\vec{MG}.\vec{GA}+GA²-3MG²-6\vec{MG}.\vec{GB}-3GB²+2MG²+4\vec{MG}.\vec{GC}+2GC²=-36

2\vec{MG}.\vec{GA}+4\vec{MG}.\vec{GC} +GA²-3GB²+2GC²=-36

Or GA²-3GB²+2GC²= (2√13)²-3(4√10)²+2(2√10)²=-348

2\vec{MG}.(\vec{GA}+2\vec{GC})=312

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Posté par
PLSVUre : Barycentre et distances 08-09-20 à 22:54

Bonsoir,
4)
Comme tu as remarqué que 1-3+2=0
   n'introduis pas le point G ,   mais le point A  
  dans une première étape
\vec{AM} (a\vec{XY}+b\vec{MN })=0
je te laisse indiquer les lettres de la figure
puis introduis G  

    

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 08-09-20 à 23:10

Je ne les vois pas vraiment ..

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 08-09-20 à 23:15

Et ne comprends pas très bien ce qu'on doit faire ..

Pourquoi cette relation \vec{AM} (a\vec{XY}+b\vec{MN })=0 ?

Posté par
PLSVUre : Barycentre et distances 08-09-20 à 23:44

  Introduis le point A   en utilisant  la relation de Chasles
\vec{MB}=.......... \\ \vec{MC}.=.......
reporte  dans l'expression
MA²-3MB²+2MC²= -36.
fais les calculs
pour aboutir    à une expression de produit vectoriel   de type
\vec{AM} (a\vec{XY}+b\vec{MN })=0

puis   en introduisant le point G,  trouver  celle donnée  dans l'énoncé
\vec{AM} . \vec{AG}=0.

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 09-09-20 à 08:50

4-a) MA²-3MB²+2MC²=-36


\vec{MB}=\vec{MA}+\vec{AB} et \vec{MC}=\vec{MA}+\vec{AC}.

MA²-3MB²+2MC²=-36 \iff MA² -3(\vec{MA}+\vec{AB})²+2(\vec{MA}+\vec{AC})²=-36

MA²-3MB²+2MA²-6\vec{MA}.\vec{AB}+4\vec{MA}.\vec{AC}+AB²+AC²=-36

\vec{MA}.(-6\vec{AB}+\vec{AC})+6²+6²=-36

\vec{AM}.(6\vec{AB}-\vec{AC})+6²+6²=-36

\vec{AM}.(6\vec{AB}-\vec{AC})=-108

Ça ne vaut pas zéro à la fin non plus ..

Posté par
Priamre : Barycentre et distances 09-09-20 à 09:37

La 2ème ligne est juste, mais non ce qui suit.
Par exemple, à la 3ème ligne, on devrait trouver  " - 3AB² " .

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 09-09-20 à 10:40

Ah oui ,

On arrive à \vec{AM}.(6\vec{AB}-4\vec{AC})=0

En introduisant le point G ,

On a :

\vec{AM}.(6\vec{AB}-4\vec{AC})=0

\vec{AM}.[6(\vec{AG}+\vec{GB})-4(\vec{AG}+\vec{GC})]=0

\vec{AM}.(6\vec{AG}+6\vec{GB}-4\vec{AG}-4\vec{GC})=0

\vec{AM}.(2\vec{AG}+6\vec{GB}-4\vec{GC})=0

\vec{AM}.(\vec{AG}+3\vec{GB}-2\vec{GC})=0

Posté par
Priamre : Barycentre et distances 09-09-20 à 10:52

Après la 1ère ligne, mets  6AM  en facteur, et observe le résultat.

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 09-09-20 à 11:24

\vec{AM}.(6\vec{AB}-4\vec{AC})=0

==> 6\vec{AM}.(\vec{AB}-\dfrac{2}{3}\vec{AC})=0

6\vec{AM}.(\vec{AB}-\vec{AE})=0

6\vec{AM}.\vec{EB}=0

6\vec{AM}.\vec{GA} car BAGE est un parallélogramme.

==> \vec{AM}.\vec{AG}=0.

b- On en déduit que (∆) est la droite perpendiculaire à (AG) privé des points A et G car aucun de ces deux points n'implique que MA²-3MB²+2MC²=-36

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 09-09-20 à 11:27

Oups

b- On en déduit que (∆) est la droite perpendiculaire à (AG) passant par A .

Posté par
Priamre : Barycentre et distances 09-09-20 à 12:10

D'accord.

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 09-09-20 à 13:00

Merci à tous

Posté par
Samscore : Barycentre et distances 11-09-20 à 11:18

Bonjour tout le monde.

Svp , à la question 4-a) , comment arrive t-on à :
AM(6AB-4AC)=0 (vecteurs) à par de ceci:

MA²-3M{\red{A}}²+2MA²-6\vec{MA}.\vec{AB}+4\vec{MA}.\vec{AC}+AB²+AC²=-36

Posté par
matheux14re : Barycentre et distances 11-09-20 à 11:55

Bonjour , il faut bien regarder..

Je n'ai sauté aucune étape dans la démo

Posté par
Samscore : Barycentre et distances 11-09-20 à 15:42

Ah oui merci , je viens de voir .

Samsco @ 11-09-2020 à 11:18

Bonjour tout le monde.

MA²-3M{\red{A}}²+2MA²-6\vec{MA}.\vec{AB}+4\vec{MA}.\vec{AC}{\red{-3}}AB²+{\red{2}}AC²=-36


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