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Barycentre et équation de droitene question:

Posté par
meli
01-12-12 à 18:38

Bonsoir à tous,
Alors voilà,j'aide ma soeur sur un exercice sur les barycentres et nous bloquons sur une question:
Soit un plan (P) dans lequel est placé un repère (o;;).Soient 4 points: A(1;0),B(-2;3),C(0;-3) et D(2;3)associés aux coefficients -1 ; -2 ; 3 et 2+3 respectivement avec nombre réel.
1)-Quelles sont les valeurs de pour lesquelles le système {(A;-1)...(D;2+3)} admet un barycentre G?
Si ses calculs sont bons,la solution est: -{-1}
2)-Trouver les coordonnées de Gen fonction de
On trouve : xG=(5+9)/(3+3) et
yG=(6-6)/(3+3)
3)-Démontrer que l'ensemble des points G lorsque varie dans -{-1} est la droite () et trouver son équation.
Et c'est là que nous bloquons.
J'ai pu calculer a: je trouve a=-1/3 mais en claculant b,je tombe sur valeur qui varie en fontion de .
J'ai calculé a en prenant xG et yG pour =' et ='+1 (puis je fais le rapport entre les différences des xGet des yG.

Mais je ne suis pas satisfaite du résultat puisque l'on obtient pas l'équation d'une droite.Des suggestions?

Posté par
dhalte
re : Barycentre et équation de droitene question: 01-12-12 à 18:58

bonsoir

tu as dû faire une erreur de calcul,
la réponse est
y=-3x+7

Posté par
dhalte
re : Barycentre et équation de droitene question: 01-12-12 à 19:00

mais tu dois éviter de prendre deux valeurs particulières pour a, car tu ne montres pas alors que les points G sont sur la droite, mais seulement que deux points de la droite trouvée sont des points G

Posté par
meli
re : Barycentre et équation de droitene question: 01-12-12 à 19:06

Merci d'avoir pris le temps de répondre dhalte.
Pour le moment,je n'ai pas trouvé de droite,je cherche à déterminer son équation.J'ai trouvé a en appliquant la loi permettant de trouver le coefficient directeur d'une droite à partir de 2 points de celle-ci.Par exemple en prenant G et G+k.Si j'obtiens un nombre fini ,alors j'aurais déjà répondu à la moitié de la question,non?
Mais quand j'essaie de calculer b ,c'est l'impasse.Dans la solution que tu proposes,je remarque que a est l'inverse de celui que j'ai trouvé.

Posté par
meli
re : Barycentre et équation de droitene question: 01-12-12 à 19:10

Pour ce qui est de a,j'ai trouvé mon erreur.J'obtiens effectivement -3

Posté par
Oel
re : Barycentre et équation de droitene question: 01-12-12 à 19:16

Bonsoir,

d'après la propriété fondamentale (je sais pas mettre les flèches)
quelque soit M, (alpha-1)AM-2BM+3CM+(2alpha+3)DM=(3alpha+3)GM

quelque soit alpha, GM aura la même direction, alors l'ensemble des points G pour alpha variant sur R-(-1) est une droite. Je laisse l'avis de cette démonstration à dhalte et aux autres

Posté par
dhalte
re : Barycentre et équation de droitene question: 01-12-12 à 19:21

A=((1,0),a-1)
B=((-2,3),-2)
C=((0,-3),3)
D=((2,3),2a+3)

somme des masses : 3a+3 : G défini seulement si a\neq-1
ça, tu l'as trouvé

ensuite, vectoriellement, G vérifie l'équation :
(3a+3)\vec{OG}=(a-1)\vec{OA}-2\vec{OB}+3\vec{OC}+(2a+3)\vec{OD}

ce qui donne, tous calculs faits, et a\neq-1 les expressions des coordonnées de G
G=(\dfrac{\frac53a+3}{a+1},\dfrac{2a-2}{a+1})

Il faut trouver une relation entre les coordonnées de G qui ne dépende pas de a
x=\dfrac{\frac53a+3}{a+1}
y=\dfrac{2a-2}{a+1})

de ces deux équations, on isole a
a(x-\frac53)=x+3
a(y-2)=-y-2

condition supplémentaire d'existence de a : x\neq\frac53\text{ et }y\neq2
sous cette condition, on a
a=\dfrac{x+3}{x-\frac53}=\dfrac{-y-2}{y-2}

et en faisant le produit en croix, tu trouveras la relation entre x et y, coordonnées de G

conclusion : G est sur cette droite, et seul le point de coordonnées (\frac53,2) de cette droite n'est pas un des barycentres du système lorsque a varie

Barycentre et équation de droitene question:

Posté par
dhalte
re : Barycentre et équation de droitene question: 01-12-12 à 19:26

Réponse à Oel : faux
Soit le système
A=((1,0),1/a-1)   <=========== j'ai subtilement modifié la masse de A
B=((-2,3),-2)
C=((0,-3),3)
D=((2,3),2a+3)

alors le lieu devient :

Barycentre et équation de droitene question:

Posté par
meli
re : Barycentre et équation de droitene question: 01-12-12 à 19:44

Merci beaucoup pour l'explication.C'est une méthode qui me convient mieux.
Je note une petite erreur: a(x-5/3)= -x+3 (et non x+3)
Encore merci pour vos contributions.
Bonne soirée.

Posté par
Oel
re : Barycentre et équation de droitene question: 01-12-12 à 19:54

Oui je suis bête c'est 3alpha+3 , si je modifie alpha ce n'est plus proportionnel -_-
bonne chance meli

Posté par
dhalte
re : Barycentre et équation de droitene question: 01-12-12 à 20:11

exact, meli, simple erreur de recopie au clavier
mais ça me prouve au moins que tu as réfléchi en recopiant.



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