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Barycentre et milieu de segments.

Posté par
matheux14
17-07-20 à 19:28

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit A et B deux points tels que AB=4.

On considère le barycentre G des points pondérés (A,1) et (B,3) et le barycentre K des points pondérés (A,3) et (B,1).

1) Placer sur un dessin les points A , B , G et K.

2) Démontrer que les segments [AB] et [GK] ont le même milieu.

1) c'est fait ...

Barycentre et milieu de segments.

2) Je bloque

Posté par
carpediem
re : Barycentre et milieu de segments. 17-07-20 à 19:41

salut

encore et toujours la même chose : peux-tu donner une condition vectorielle qui permet d'affirmer que I est le milieu du segment [JK] ? (cours)

Posté par
carpediem
re : Barycentre et milieu de segments. 17-07-20 à 19:44

... puis ensuite la prouver ...

Posté par
matheux14
re : Barycentre et milieu de segments. 17-07-20 à 19:50

En vecteurs

KI=1/2KG d'où I=bar{(K,1) ; (B,1)}

En un mot \text{I} est l'isobarycentre des points K et G .

Mais comment montrer que \text{I} l'est vraiment ?

Posté par
carpediem
re : Barycentre et milieu de segments. 17-07-20 à 19:56

je veux une relation vectorielle symétrique ...

Posté par
matheux14
re : Barycentre et milieu de segments. 17-07-20 à 20:17

En vecteurs : KI=IG

Posté par
co11
re : Barycentre et milieu de segments. 17-07-20 à 21:23

Pourquoi pas ....

Alors exprime chacun de ces vecteurs en fonction des vecteurs IA et IB et vois s'ils sont égaux.

Rappel : si G est le barycentre de (A; a) et (B; b), alors, pour tout point M, on a, en vecteurs:
aMA + bMB = (a + b)MG

Posté par
matheux14
re : Barycentre et milieu de segments. 17-07-20 à 21:37

KG=IB et GK=IA

Mais justement , encore faut il prouver celà ...

Posté par
carpediem
re : Barycentre et milieu de segments. 17-07-20 à 21:54

ouais je préfère IA + IB = 0 (d'autant plus que tu as les coefficients barycentriques immédiatement comme tu nous les as donnés d'ailleurs plus haut)

on veut montrer que les segments [AB] et [KG] ont même milieu donc il faut bien partir de quelque chose

soit donc I le milieu du segment [AB] et montre que c'est le milieu du segment [GK]

(tu pourrais faire l'inverse mais vu la définition des points G et K à partir des points A et B c'est plus simple ...)

donc on sait la relation vectorielle IA + IB = 0 et on veut montrer que IG + IK = 0

donc on va calculer IG + IK = ...

et relation de Chasles pour faire appraitre les points A et B puis utilisation des des définitions de G et K pour qu'il disparaissent de la relation vectorielle ...

Posté par
carpediem
re : Barycentre et milieu de segments. 17-07-20 à 21:55

et si je propose cette méthode c'est évidemment du fait de toutes les symétries par rapport à I ...

PS : finalement le chemin inverse est peut-être bien plus efficace ...

Posté par
matheux14
re : Barycentre et milieu de segments. 18-07-20 à 09:02

Bonjour , comment faites vous pour savoir si une méthode est plus avantageuse que l'autre , je croyais bien que celle avec les vecteurs est bénéfique que celle avec les coordonnées...

Mais voilà que dans cet exo

Citation :
PS : finalement le chemin inverse est peut-être bien plus efficace ...

Posté par
carpediem
re : Barycentre et milieu de segments. 18-07-20 à 09:15

mais je ne travaille qu'en vecteur ... et les deux chemins sont équivalents en fait ...

IG + IK = ....

Posté par
matheux14
re : Barycentre et milieu de segments. 18-07-20 à 10:46

(en vecteurs)

IG + IK = IB+BG + IA+AK

I étant le milieu de [AB] , IA+IB=0

D'où IG+IK=BG+AK

G=bar{(A,1) ; (B,3)} et K=bar{(A,3) ; (B,1)}

Donc BG=(1/4)BA et AK=(1/4)AB

Alors IG+IK=(1/4)AB +(1/4)BA

IG+IK=(1/4)AB-(1/4)AB

IG+IK=0

Alors I est le milieu de [GK].

Donc G=bar{(A,1) ; (B,3)} et K=bar{(A,3) ; (B,1)} implique que le point I , milieu du segment [AB] est le milieu du segment [GK].

Merci

Posté par
carpediem
re : Barycentre et milieu de segments. 18-07-20 à 14:09



avec un donc plutôt qu'un alors ... c'est plus mieux bien ...

PS : d'ailleurs toujours préférer un donc à alors (même si répétitif) dans un raisonnement et réserver alors après  un si ...

Posté par
matheux14
re : Barycentre et milieu de segments. 18-07-20 à 16:50

Ah d'accord

Merci

Posté par
carpediem
re : Barycentre et milieu de segments. 18-07-20 à 18:39

de rien



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