Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup GéométrieTopics traitant de géométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

barycentre et orhocentre

Posté par rust (invité) 02-10-05 à 19:05

bonjour,

je dois établir que le barycentre I de (B,tan B) et (C,tan C)est le pied de la hauteur issue de A et en deduire que la barycentre H de (A,tan A), (B,tan B) et (C,tan C) appartient aux trois hauteurs et est donc l'orthocentre.

Si j'arrive a monter la première partie, je pourrais dire que H appartient a une hauteur, puis en refaisant la demontration avec le barycentre I2 de (B,tan B) et (C,tan C) que H appartient a une deuxième hauteur, et a la limite pour la troisème hauteur aussi, en utilisant G=bary{(A,a),(B,b),(C,c)}=bary{(A,a),(I,b+c)}.

Mais je n'arrive pas a faire cette partie.

Merci de votre  aide.

Posté par rust (invité)re : barycentre et orhocentre 02-10-05 à 19:06

pardon, lire "...puis en refaisant la demontration avec le barycentre I2 de (A,tan A) et (C,tan C)..."

Posté par N_comme_Nul (invité)re : barycentre et orhocentre 02-10-05 à 21:46

Salut !

Dans un premier temps, tu peux considérer le point A_1 projeté orthogonal de A sur (BC) puis démontrer que tu as :
    A_1={\rm Bar}\{(B,b\,\cos(\widehat C)),(C,c\,\cos(\widehat B))\}
Ensuite, tu peux en déduire que A_1={\rm Bar}\{(B,\tan(\widehat B)),(C,\tan(\widehat C))\}.

Pour la première : tu peux exprimer le produit scalaire \vec{BC}\cdot\vec{BA} de deux manières, même chose avec le produit scalaire \vec{CB}\cdot\vec{CA} et en déduire que tu as
\overline{BC}(b\,\cos(\widehat C)\overline{BA_1}+c\,\cos(\widehat B)\overline{CA_1})=0 puis de passer aux vecteurs.

Pour la deuxième, on peut réutiliser les relations trouvées premièrement et utiliser la relation des sinus.

Posté par rust (invité)re : barycentre et orhocentre 03-10-05 à 18:26

merci,

mais je ne vois pas comment prouver A_1={\rm%20Bar}\{(B,b\,\cos(\widehat%20C)),(C,c\,\cos(\widehat%20B))\}

ni que par suite on a A_1={\rm%20Bar}\{(B,\tan(\widehat%20B)),(C,\tan(\widehat%20C))\}

b et c sont bien les cotés AC et AB ?

Posté par rust (invité)re : barycentre et orhocentre 04-10-05 à 09:00

personne ne peut m'expliquer ?

Posté par N_comme_Nul (invité)re : barycentre et orhocentre 04-10-05 à 21:22

Salut ! (désolé de ne pas avoir répondu plus tôt)

Pour les notations :
   a=BC, b=AC, c=AB

Bon alors tu as
   \vec{BC}\vec{BA}=\overline{BC}\overline{BA_1}
   \vec{BC}\vec{BA}=ac\,\cos(\widehat B)
ainsi,
   \overline{BC}\overline{BA_1}=ac\,\cos(\widehat B)
Tu fais la même chose avec \vec{CB}\vec{CA}.
Tu peux alors en déduire que \overline{BC}b\,\cos(\widehat{C})\overline{BA_1}+\overline{BC}c\,\cos(\widehat{B})\overline{CA_1}=0

Regarde comment tu peux avoir alors ton barycentre (B\not=C et A_1,B,C sont alignés : tu peux passer aux vecteurs (en simplifiant au passage par \overline{BC}).


Posté par rust (invité)re : barycentre et orhocentre 04-10-05 à 22:02

merci,

je trouve
\vec{CB}\vec{CA}=ab\,\cos(\widehat%20C)

Je multiplie les deuxexpression donc je trouve
\overline{BC}b\,\cos(\widehat{C})\overline{BA_1}+\overline{BC}c\,\cos(\widehat{B})\overline{CA_1}=0
soit b\,\cos(\widehat{C})\overline{A_1B}+c\,\cos(\widehat{B})\overline{A_1C}=0
donc A_1={\rm%20Bar}\{(B,b\,\cos(\widehat%20C)),(C,c\,\cos(\widehat%20B))\} par définition du barycentre.

Par contre, je ne comprends pas pourquoi b\,\cos(\widehat%20C)=tan(\widehat%20B) ?

Posté par N_comme_Nul (invité)re : barycentre et orhocentre 04-10-05 à 22:15

resalut !

Il s'agit de prouver que l'on a :
    \tan(\widehat{B})\vec{BA_1}+\tan(\widehat{C})\vec{CA_1}=\vec0 (*)

En passant aux distances algébriques, cela revient à prouver que tu as
    \frac{\overline{BA_1}}{\overline{CA_1}}=-\frac{\tan(\widehat{C})}{\tan(\widehat{B})}

Pour faire ça, tu peux te servir de la relation trouvée précédemment :
    b\,\cos(\widehat{C})\overline{BA_1}+c\,\cos(\widehat{B})\overline{CA_1}=0
en écrivant ceci de la même manière qu'en (*).
Reste à introduire des sinus ... la relation des sinus n'est pas loin

Posté par N_comme_Nul (invité)re : barycentre et orhocentre 04-10-05 à 22:27

Oups, j'ai mal mis l'étoile (*)
Il faut la mettre dans la deuxième égalité (celle avec les quotients).

Posté par rust (invité)re : barycentre et orhocentre 05-10-05 à 19:25

bonjour,

et si je marque \tan(\widehat{C})=\overline{A_1A}/\overline{CA_1}

donc \overline{CA_1}\tan(\widehat{C})=\overline{A_1A}
soit \tan(\widehat{C})\vec{CA_1}=\vec{A_1A}

ce ne serait pas plus rapide ?

Posté par rust (invité)re : barycentre et orhocentre 05-10-05 à 19:26

ainsi je referais la même même chose avec tan(\widehat{B}

et je retrouverai directement la définition du barycentre.

En fait, c'est juste le passage de la distance algébrique aux vecteurs qui me gene un peu.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !