Bonjour quand même cher Anonyme


Soit G le barycentre du système de points pondérés :
{(A,2) (B,1) (C,1)}
G existe car 2+1+10

K milieu de [AB] et J milieu de [AC], donc :
K barycentre de {(A,1) (B,1)}
J barycentre de {(A,1) (C,1)}
et
G barycentre de {(A,2) (B,1) (C,1)}
soit encore :
G barycentre de {(A,1) (B,1) (A, 1) (C,1)}

Du théorème d'associativité du barycentre, on en déduit que :
G barycentre de {(K, 2) (J, 2)}
G appartient donc à la droite (JK).


I milieu de [BC], donc :
I barycentre de {(B, 1) (C, 1)}
et
G barycentre de {(A,2) (B,1) (C,1)}

Du théorème d'associativité du barycentre, on en déduit que :
G barycentre de {(A, 2) (I, 2)}
G appartient donc à la droite (AI).


L est le point tel que :
(les vecteurs sont en gras)
AL = 1/3 AB
donc :
3AL = AB
3AL - AL - LB = 0
2AL + BL = 0

L est donc le barycentre du système :
{(A, 2) (B, 1)}
et
G barycentre de {(A,2) (B,1) (C,1)}

Du théorème d'associativité du barycentre, on en déduit que :
G barycentre de {(L, 3) (C, 1)}
G appartient donc à la droite (CL).


Conclusion : les droites (AI), (JK) et (CL) sont concourantes.

A toi de vérifier, bon courage

j'arrive trop tard