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Niveau maths sup
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barycentre, théo ménélaus...

Posté par mathias (invité) 06-11-05 à 11:39

bjr tout le monde, j'ai des difficultés a faire un exercice en math, si vous pouviez me mettre sur la voie, ce serait pas de refus!

On considere un triangle ABC,  et A' (BC), B' (AC), C' (AB), distincts des sommets

on a A' bary de ( B,  ; C,(1-) ),
     B' bary de ( A,  ; C,(1-) ),
et   C' bary de ( A,  ; B,(1-) ),

Il faut exprimer B comme un barycentre de A et C', en précisant les coefficients
De meme pour C barycentre de A et B'

Puis déduire une expression de A'  comme barycentre de A, B', C'

Et enfin en déduire une condition nécessaire et suffisante A', B', C' soient alognés

Voila, je galère rien que sur la 1ere question
Merci de votre aide

Posté par
stokastik
re : barycentre, théo ménélaus... 06-11-05 à 11:45


Comment caractérises-tu le fait que B' est le barycentre de (A,beta ; C,delta) ?

Ecris-le et manipule cette égalité vectorielle pour faire apparaître C comme un barycentre de A et B'.

Posté par mathias (invité)re : barycentre, théo ménélaus... 06-11-05 à 14:57

OK, j'ai trouvé pour la premiere question

On a B bary ( A, ; C',-1 )
et   C bary ( B',-1  ; A, )

mais apres j'ai manipulé les égalités dans tous les sens,
je ne trouve pas A' comme bary de A, B', et C'

Posté par mathias (invité)re : barycentre, théo ménélaus... 06-11-05 à 15:44

quelqu'un a t-il une petite idée?

Posté par
Ksilver
re : barycentre, théo ménélaus... 06-11-05 à 17:18

Bien sur

tu a A'=bary( B,a  ; C,(1-a) ),
et

B= bary ( A,a ; C',-1 )
C=bary ( B',-1  ; A,b )

il ne reste plus qua multiplier les coeficient de ces barycentre par une constante bien choisit et utiliser la formule du barycentre partiel pour avoir A barycentre de A,C' et B'

Posté par mathias (invité)re : barycentre, théo ménélaus... 06-11-05 à 17:25

Je ne te suis pas, ksilver
Désolé, j'ai de grosses lacunes (que je traine depuis la premiere S ) avec les barycentres...

Posté par
piepalm
re : barycentre, théo ménélaus... 06-11-05 à 18:34

On va écrire a,b,c au lieu de ,ça ira plus vite...
aA'B+(1-a)A'C=0 (vecteurs, bien sur)
bB'A+(1-b)B'C=0
cC'A+(1-c)C'B=0
de la dernière on déduit c(C'B+BA)+(1-c)C'B=0 donc cBA-BC'=0
de la seconde b(B'C+CA)+(1-b)B'C=0 donc bCA-CB'=0

On peut encore écrire la seconde: b(A'A-A'B')+(1-b)(A'C-A'B')=0, bA'A+(1-b)A'C=A'B'
et la troisième c(A'A-A'C')+(1-c)(A'B-A'C')=0, cA'A+(1-c)A'B=A'C'
Soit encore A'B=(A'C'-cA'A)/(1-c) et A'C=(A'B'-bA'A)/(1-b)
et en tenant compte de la première a(A'C'-cA'A)/(1-c)+(1-a)(A'B'-bA'A)/(1-b)=0
soit en multipliant par (1-b)(1-c), -(ac(1-b)+b(1-a)(1-c))A'A+(1-a)(1-c)A'B'+a(1-b)A'C'=0
(ab+bc-ac-b)A'A+(1-a)(1-c)A'B'+a(1-b)A'C'=0
A'B'C' sont alignés si A' est barycentre de B' et C' donc si le poids de A est nul
ab+bc-ac-b=0 ; b(a+c)=ac+b; ac+c(1-b)+a(1-b)-(a+c+1-b)=-1

Vérifie les calculs, parce qu'en calculant directement à l'écran, il est facile de faire des erreurs... Le résultat obtenu n'est pas très joli, parce que au départ, les données ne respectent pas la symétrie du problème: il aurait été plus judicieux de poser B' barycentre de C,b et A,1-b...



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