Comment caractérises-tu le fait que B' est le barycentre de (A,beta ; C,delta) ?

Ecris-le et manipule cette égalité vectorielle pour faire apparaître C comme un barycentre de A et B'.

OK, j'ai trouvé pour la premiere question

On a B bary ( A, ; C',-1 )
et   C bary ( B',-1  ; A, )

mais apres j'ai manipulé les égalités dans tous les sens,
je ne trouve pas A' comme bary de A, B', et C'

quelqu'un a t-il une petite idée?

Bien sur

tu a A'=bary( B,a  ; C,(1-a) ),
et

B= bary ( A,a ; C',-1 )
C=bary ( B',-1  ; A,b )

il ne reste plus qua multiplier les coeficient de ces barycentre par une constante bien choisit et utiliser la formule du barycentre partiel pour avoir A barycentre de A,C' et B'

Je ne te suis pas, ksilver
Désolé, j'ai de grosses lacunes (que je traine depuis la premiere S ) avec les barycentres...

On va écrire a,b,c au lieu de ,ça ira plus vite...
aA'B+(1-a)A'C=0 (vecteurs, bien sur)
bB'A+(1-b)B'C=0
cC'A+(1-c)C'B=0
de la dernière on déduit c(C'B+BA)+(1-c)C'B=0 donc cBA-BC'=0
de la seconde b(B'C+CA)+(1-b)B'C=0 donc bCA-CB'=0

On peut encore écrire la seconde: b(A'A-A'B')+(1-b)(A'C-A'B')=0, bA'A+(1-b)A'C=A'B'
et la troisième c(A'A-A'C')+(1-c)(A'B-A'C')=0, cA'A+(1-c)A'B=A'C'
Soit encore A'B=(A'C'-cA'A)/(1-c) et A'C=(A'B'-bA'A)/(1-b)
et en tenant compte de la première a(A'C'-cA'A)/(1-c)+(1-a)(A'B'-bA'A)/(1-b)=0
soit en multipliant par (1-b)(1-c), -(ac(1-b)+b(1-a)(1-c))A'A+(1-a)(1-c)A'B'+a(1-b)A'C'=0
(ab+bc-ac-b)A'A+(1-a)(1-c)A'B'+a(1-b)A'C'=0
A'B'C' sont alignés si A' est barycentre de B' et C' donc si le poids de A est nul
ab+bc-ac-b=0 ; b(a+c)=ac+b; ac+c(1-b)+a(1-b)-(a+c+1-b)=-1

Vérifie les calculs, parce qu'en calculant directement à l'écran, il est facile de faire des erreurs... Le résultat obtenu n'est pas très joli, parce que au départ, les données ne respectent pas la symétrie du problème: il aurait été plus judicieux de poser B' barycentre de C,b et A,1-b...