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barycentre , trapèze complet
Bonjour
je suis en première S et j'ai vraiment du mal avec les cours sur les barycentre.
j'aimerais un peu d'aide s'il vous plait pour le DM suivant:
ABCD est un trapèze. les droites (AB) et (CD) sont sécantes en E. Les droite (AC) et (BD) sont sécantes en G . F est milieu de [AD] et K celui de [BC] . On se propose de démontrer que les points E,F,G et K sont alignés.
1) Pourquoi existe-t-il un réel k tel que vecteurEB = k.vecteurEA
démontrer qu'on a également vecteur EC=k.vecteurED
(içi je pense démontrer que EA et EB ainsi que ED et EC sont colinéaires)
2) déterminer deux réel a et b tels que E soit le barycentre de (A;a), (B;b), (C;b) et (D;a) . En déduire l'alignement des points E,F et K .
(je pense que a et b sont de signe contraire et que "a" a un coefficient plus élevé que b mais comment le démontrer ?) ensuite il me semble que pour montrer que E,F,k sont aligné il faut simplement montrer que F isobarycentre de [AD] et k isobarycentre de [BK] mais là encore j'ai un probleme de rédaction
3) Par un raisonnement analogue, établir l'alignement des points G,F et K.
(aucune idée)
4) conclure
Bonjour,
Oui EA,EB colinéaire ainsi que ED et EC. Mais en plus c'est le même coefficient k à cause du théorème de Thalès EB/EA=EC/ED
Pour 2) Il faut donc aEA+bEB+bEC+aED=0 mais on avait EB=kEA et EC=kED donc
aEA+bkEA+bkED+aED=0 --> (a+bk) (EA + ED) = 0 --> a+bk = 0 on peut donc prendre par exemple a=k et b=-1
F est barycentre de A(1) et D(1) (ou A(k), D(k) et K est barycentre de B(1), C(1) (ou bien B(-1),C(-1))
On sait que E est barycentre de A(k), B(-1) , C (-1) et D (k)
Par associativité du barycentre, on peut remplacer A(k), D(k) par F(2k) et B(-1),C(-1) par K(-2)
Donc E est barycentre de F(2k) et K(-2) donc les 3 points sont alignés.
Essaye de faire le même raisonnement pour GFK.
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