Je note M pour omega
I=Bar{(A;a),(B;b)} existe car a+b<>0
J=Bar{(A;a),(B;-b)} existe car a-b<>0
M=Bar{(I;1),(J;1)} isobarycentre
=Bar{(I;a+b),(J;a+b)} car a+b<>0 - on multiplie les coeff. par a+b
=Bar{(A;a),(B;b),(J;a+b)} par associativité - voir cours
=Bar{(A;a/(a+b)),(B;b/(a+b)),(J;1)} car a+b<>0 - on divise par a+b
=Bar{(A;a(a-b)/(a+b)),(B;b(a-b)/(a+b)),(J;a-b)} car a-b<>0 - on multiplie tous les coefficients par a-b
=Bar{(A;(a²-ab)/(a+b)),(B;(ab-b²)/(a+b)),(J;a),(J;-b)} par associativité
=Bar{(A;(a²-ab)/(a+b)+a),(B;(ab-b²)/(a+b)-b)}
Or (a²-ab)/(a+b)+a=2a²/(a+b)
et (ab-b²)/(a+b)-b=-2b²/(a+b)
Donc :
M=Bar{(A;2a²/(a+b)),(B;-2b²/(a+b))}
soit M=Bar{(A;a²),(B;-b²)} - on multiplie les coefficients par (a+b)/-2

REMARQUE : si la notation est un peu prématurée pour un élève de première
S (elle est en fait très pratique et utilisée en TS), il suffit de
convertir chaque égalité du type
M=Bar{(A;a),(B,b)} en
a x vect(MA) + b x vect(MB)=vect(0)

La deuxième question est plus inquiétante : on peut facilement construire
un contre exemple - ABM rectangle en M donc
vect(MA).vect(MB)=0 et placer I au tiers de [AB] tel que
I=Bar{(A;1),(B;2)}
Ainsi, vect(MI)²<>0 donc il n'y a pas égalité.
Il y a une erreur dans ce sujet.

Voila !

Bonjour,

Je ne comprends pas votre contre-exemple ; si M=Bar{(A;a), (B,b)}, alors
A, B et M sont alignés.
Donc on ne peut pas construire de triangle ABM rectangle en M !

En revanche, j'ai réussi à traiter cet exercice d'une autre
manière :
1) En utilisant aIA + bIB = 0, aJA - bJB = 0, MI + MJ = 0,
On parvient à MI = (aMA + bMB) / (a + b)
et MJ = (aMA - bMB) / (a - b)
et ensuite à a²MA - b²MB = 0 (1)

2) En posant MI² = MJ² on aboutit à :
MI² = (a²MA² - b²MB²) / (b² - a²)
Or a²MA² = b²MB.MA
et b²MB = a²MB.MA d'après (1)
d'où MI² = MB.MA !

Bravo pour cette solution beaucoup plus simple que la mienne !
Pour la deuxième question, le sujet, tel qu'il est écrit, m'a
laissé croire que la deuxième question négligeait le point J, étant
donné l'écriture de l'égalité à démontrer, d'où ma
réponse.
Il n'en est rien, autant pour moi ...