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Barycentres
Bonsoir,
j'ai un devoir maison à faire en géométrie et je suis bloquée aux deux dernières questions. Voici l'énoncé:
"Soient A,B,C,D quatre points du plan avec A,B,C non alignés.
(a) Montrer que ABCD est un trapèze si et seulement si il existe un réel α > 0 tel que D = bar ( ( A , α ) , ( B , -α ) , ( C , 1 ) ).
On suppose dans la suite que ABCD est un trapèze avec D = bar ( ( A , α ) , ( B , -α ) , ( C , 1 ) ) , que les droites ( AD ) et ( BC ) sont sécantes en K et que les droites ( AC ) et ( BD ) sont sécantes en L.
(b-i) Montrer qu'il existe un réel x tel que K = bar ( ( A , x ) , ( D , 1-x ) ) et K = bar ( ( B , x ) , ( C , 1-x ) ).
(b-ii) Montrer que l'on a x+α ( 1-x ) = 0.
(b-iii) Montrer que K appartient à la droite ( IJ ).
(c) Montrer que les points I,J,K,L sont alignés."
Il me reste donc la question (b-iii) et (c) à faire.
Pour la (b-iii) j'ai rassemblé les données dont je dispose, ce qui donne:
K=bar((A,x),(D,(1-x))) <=> xKA+(1-x)KD=0
K=bar((B,x),(C,(1-x))) <=> xKB+(1-x)KC=0
I=mil(A,B) donc IA+IB=0 <=> AI=1/2 AB
I=bar((A,1),(B,1))
J=mil(C,D) donc JC+JD=0 <=> CJ=1/2 CD
J=bar((C,1),(D,1))
Malheureusement, je ne sais pas vraiment quoi faire de tout ça.
Merci d'avance pour vos réponses.
En fait j'ai un peu avancé, et je me retrouve avec 2KI=KA+KB et 2KJ=KC+KD. Mais je n'arrive pas à prouver que 2KI+2KJ=0.
Bonsoir.
Pour montrer que la droite (IJ) passe par K il suffit de montrer que K est barycentre de I et J pour des coefficients que je te laisse chercher.
Tu ne réussiras pas à prouver que . C'est faux.
PS : il aurait été agréable pour tes lecteurs que tu dises, avant de les utiliser, que les points I et J sont les milieux respectifs de AB et CD.
Merci pour votre réponse. Effectivement, je viens de m'apercevoir que cette information manque dans mon énoncé.
Je vois, je dois donc démontrer qu'il existe a,b appartenant à R tel que aKI+bKJ=0. Cependant, je ne vois toujours pas comment faire pour aboutir à cette égalité. Désolé.
Bonjour
en partant de :
il existe un réel x tel que K = bar ( ( A , x ) , ( D , 1-x ) ) et K = bar ( ( B , x ) , ( C , 1-x ) ).
en le traduisant par des égalités vectorielles, qu'il est possible d'additionner entre elles, avant d'utiliser le fait que
D'accord,merci.
Si je comprends bien,ça donne:
xKA+(1-x)KD=0
xKB+(1-x)KC=0
donc x(KA+KB)+(1-x)(KD+KC)=0
Or, KA+KB=2KI et KC+KD=2KJ
donc en remplaçant:
2xKI+(2-2X)KJ=0
Donc K=bar ((I,2x),(J,(2-2x)))
donc K appartient à (IJ)
Est-ce correct?
Super,merci beaucoup.
Pour la dernière question, je suppose que je reprends la b-i et la b-iii mais avec L au lieu de K,c'est bien ça? Ou il y a une façon plus rapide?
=1 ?Nos messages se sont croisés.
Pour la dernière question je dirais : « de même ».
Mais je suis vieux et feignant.
Merci beaucoup pour toutes vos réponses,vraiment. Je vais finir de mettre tout ça au propre. Bonne soirée.
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