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Niveau première
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Barycentres

Posté par
barka54
07-06-20 à 08:27

Bonjour,
j'ai besoin de votre aide pour cet exercice:
L'unité étant le centimètre, A,B,C sont trois points du plan tels que AB=AC et BC=2√2. I le milieu de [BC].
1) Donner la nature exacte du triangle ABC.
2)J est un point défini par AJ=⅔AI(vecteurs). Déduire que J est le centre de gravité du triangle ABC.
3)-on considère l'ensemble (T) des points M du plan tels que AM²+BM²+CM²=8
a) Montrer que BM²+CM²=2IM²+4 et AM²+2IM²=3JM²+4/3
b)En déduire que AM²+BM²+CM²=3JM²+16/3
c) En déduire la nature et construire (T).

Ma piste
1)Triangle isocèle en A.
2)c'est bon ici(J'ai abouti à la relation vectorielle JA²+JB²+JC²=0 dont J est l'isobarycentre)
3)a) Je ne sais vraiment pas comment faire... J'ai essayé avec des configurations de Chasles mais ça ne m'emmène nul part... Auriez-vous une piste à m'indiquer  s'il vous plaît?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentres 07-06-20 à 09:03

Bonjour,
Pour2), les carrés sont en trop.
Et sans aucun calculs : J est au 2/3 sur la médiane à partir du sommet A ; donc ...

Pour 3)a), remplacer \vec{BM} par \vec{BI}+\vec{IM}.
Idem avec \vec{CM}.
Développer les carrés et réduire.

Posté par
barka54
re : Barycentres 07-06-20 à 09:13

Oui j'ai confondu les carrés avec les vecteurs !
J est au 2/3 sur la médiane à partir du sommet A ; donc ...il est le centre de gravité du triangle ABC.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentres 07-06-20 à 09:13

Les longueurs AB et AC ne sont pas données dans l'énoncé ?

Posté par
barka54
re : Barycentres 07-06-20 à 12:32

En faisant ce remplacement, j'obtiens:
AM^{2}+(\vec{BI}+\vec{IM})^{2}+(\vec{CI}+\vec{IM})^{2}=8
Après developpement puis réduction , je trouve => AM²+2IM²=4


Citation :
Désolé, j'avais oublié d'indiquer ces distances(AB et AC). L'énoncé dit: AB=AC=2

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentres 07-06-20 à 14:09

Le triangle ABC est donc plus qu'isocèle.
Pour 3)a), il s'agit de transformer BM²+CM².
Rien de plus.
Tu ne sais pas développer (\vec{u}+\vec{v})^{2} ?

Posté par
barka54
re : Barycentres 07-06-20 à 14:33

Ah oui je vois... De plus, BC²=AB²+AC² : c'est un triangle isocèle et rectangle en A.

 (\vec{u}+\vec{v})^{2}=u^{2}+2*\vec{u}*\vec{v}+v^{2}

Posté par
barka54
re : Barycentres 07-06-20 à 14:41

AM²+BM²+CM²=8
Si je comprends bien, je remplace BM²+CM² respectivement par (BI+IM)² et (CI+IM)² pour aboutir à la première relation demandée :BM²+CM²=2IM²+4 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentres 07-06-20 à 17:33

Oui, sans te préoccuper avant c) du AM²+BM²+CM²=8.

Posté par
barka54
re : Barycentres 07-06-20 à 23:08

AM²+(BI+IM)²+(CI+IM)²=8
AM²+BI²+2BI*IM+IM²+CI²+2CI*IM+IM²=8
AM²+BI²+CI²+2IM²+2IM(BI+CI)=8
AM²+2+2+2IM²+2IM(0)=8 CAR I EST LE MILIEU DE [BC]…
AM²+2IM²=4...
mais je sais vraiment pas comment ressortir la relation énoncée...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentres 08-06-20 à 07:33

Bonjour,
Tu n'as pas tenu compte de mon message de 17h33.
Tu traites c) sans avoir traité a) et b) ???

Au 3)a), il s'agit de transformer BM²+CM².
Tu démarres donc par
BM²+CM² = (BI+IM)² + (CI+IM)² = BI²+2BI*IM+IM²+CI²+2CI*IM+IM² = ....
Et tu aboutis à 2IM²+4.
Tout en vecteur quand il n'y a pas de carré.

Puis même genre avec AM²+2IM².

Posté par
barka54
re : Barycentres 08-06-20 à 14:16

Merci vraiment, je m'étais carrément égaré!
a) c'est okay maintenant
b) c'est aussi okay
c) D'après les questions précédentes, on déduit que 3MJ²+16/3=8 => MJ=(2√2)/3 . il s'en suit donc que l'ensemble (T) est un cercle de centre J et de rayon r=(2√2)/3 cm.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentres 08-06-20 à 14:23

D'accord
Essaye de te souvenir de ce blocage pour ne pas le reproduire dans d'autres contextes.

Posté par
barka54
re : Barycentres 08-06-20 à 14:52

ok super.
Merci à vous!



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