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Barycentres

Posté par
barka54
24-06-20 à 17:03

Bonsoir,
pouvez-vous m'aider à traiter cet exercice dont l'énoncé est:
ABC est un triangle isocèle de sommet A tels que AB=3cm et BC=4cm. on considère les points H et G des barycentres déterminés: H=bar{(A,2);(C,-1)} et G=bar{(A,m);(B,1);(C,-1)} où m est un réel non nul.
1) Déterminer le lieu géometrique de G lorsque m décrit ΙR*.
2) Déterminer la valeur de m pour que AGCD soit un parallélogramme.
3)On considère l'ensemble (£) des points M du plan qui vérifient la relation : 2MA²+MB²-MC²=-4
a) Montrer que G est le milieu du segment [BH] et BH=2√5cm.
b) Montrer que la relation 2MA²+MB²-MC²=-4 est équivalente à la relation MG²+BG²=7.
c) Déterminer et construire l'ensemble (£).


Ma piste:
1) pour m=1, G sera confondu au point B. on sait aussi que pour m=0 le barycentre G n'existe pas. de plus, pour m=2, G est le milieu de BH. pour m appartenant à ]-∞;1[ et ]2;+∞[  G n'appartient pas à [BH]
2) AGCB est un parallélogramme pour m=1.
3)a) Je l'ai montré, et en appliquant le théorême des médianes dans le triangle CBH je trouve exactement BH=2√5 cm.
b) À ce niveau, j'ai <<injecté>> un point G dans MA² , MB², MC².
je me retrouve avec:
2MG²+GA²+GB²-GC²+2MG(2GA+GB-GC)+4=0
or , si G est  milieu de HB, G=bar{(A,2);(B,1);(C,-1)}
Donc 2MG²+GA²+GB²-GC²+4=0.
Mais j'arrive vraiment pas à aller plus loin...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentres 24-06-20 à 17:31

Bonjour,

1) m est un réel, pas forcément un entier !
pourquoi exclure ]1; 2[ ?? m= √2 c'est autorisé ! etc etc.
de plus on te demande le lieu, c'est à dire l'ensemble de tous les points G quand m prend toutes les valeurs de (sauf éventuellement quelques valeurs isolées)
réponse attendue : une droite, laquelle précisément, une certaine portion de cette droite, un cercle, un arc de cercle, autre chose etc
à toi de voir.

2) tu te contredis toi même :
pour m=1, G sera confondu au point B
AGCB est un parallélogramme pour m=1.
donc tu prétends que ABCB est un parallélogramme ?? drole de tête ce parallélogramme.

3a) ; G ?? quel G ? G dépend de la valeur de m !!!
celui pour lequel AGCB est un parallélogramme ?? l'énoncé est pourri de ne pas le dire explicitement par un "dorénavant m aura cette valeur" ou du même genre.
(vérifier et faire remonter ! marre des énoncés pourris)

Posté par
barka54
re : Barycentres 24-06-20 à 18:29

1) je sais vraiment pas comment aboutir à ce lieu géometrique... néanmoins, ce barycentre G existe pour tout m appartenant ]-∞;0[U]0;+∞[ comme indiqué ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentres 24-06-20 à 18:37

PS

2MG²+GA²+GB²-GC²+4=0
faux
revois tes calculs
tu devrais obtenir 2MG²+2GA²+GB²-GC²+4=0

pour aller plus loin
GB = √ 5 (calculé avant)
GA = droite des milieux
GC = Pythagore
(en ayant justifié avant de l'angle droit, mais c'est normalement fait question 3a, à la place de ton "théorème de la médiane" que je trouve incongru, GH se calcule par un simple Pythagore aussi)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentres 24-06-20 à 18:44

1)

peut être t'intéresser au vecteur \vec {AG}

dans le but de prouver que \vec {AG} = f(m)\times\vec{BC}
f(m) étant une certaine expression qui ne dépend que de m et des données numériques de l'énoncé.

pour tout m appartenant ]-∞;0[ U ]0;+∞[
oui
donc aucune raison de découper en des intervalles de borne 1

Posté par
barka54
re : Barycentres 24-06-20 à 18:55

mathafou @ 24-06-2020 à 18:44

1)

peut être   t'intéresser au vecteur  \vec {AG}

dans le but de prouver que  \vec {AG} = f(m)\times\vec{BC}
f(m) étant une certaine expression qui ne dépend que de m et des données numériques de l'énoncé.


je n'en sais pas trop à propos de cette expression f(m).
Devrais-je écrire la relation vectorielle entre AG, AB et BC pour la prouver ↑ ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentres 24-06-20 à 19:00

la relation vectorielle qui définit le barycentre c'est une relation vectorielle entre GA, GB et GC.

et oui, il faut l'écrire
ensuite un coup de Chasles

Posté par
barka54
re : Barycentres 24-06-20 à 19:23

voila,.
 m\vec{GA}+vec{GB}-\vec{GC}=\vec{0}

=>  m\vec{GA}+\vec{GA}+\vec{AB}-\vec{GA}-\vec{AC}=\vec{0}
=> (m+1)\vec{GA}=\vec{AC}
=> \vec{AG}=-\frac{1}{m+1}\vec{AC}

Posté par
barka54
re : Barycentres 24-06-20 à 19:25

Dans ce cas, f(m) peut-il être  f(m)=-1/(m+1) ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentres 24-06-20 à 19:43

c'est faux.

inutile de tout décomposer par Chasles via A !!
GB - GC = CG + GB = CB !! il est là Chasles

si on passe par A il suffit tout de même de ne pas se tromper sur ce chemin plus long
(mais plus le chemin est long et tortueux et plus il y a de risque d'erreurs )

 m\vec{GA}+\vec{GA}+\vec{AB}-\vec{GA}-\vec{AC}=\vec{0}   OK

=> (m+1)\vec{GA}=\vec{AC}   faux (2 erreurs d'un coup)
* il n'y a pas de GA supplémentaire : mGA + GA - GA ça fait juste mGA

* il reste AB - AC et là aussi AB - AC = CA + AB = CB

on obtient pareil que sans passer par ce détour (encore heureux ! )

\vec{AG} = \dfrac{1}{m}\vec{CB}

ces vecteurs étant donc colinéaires pour tout m ≠ 0, on a la conséquence immédiate sur le lieu de G :
quel que soit m ≠ 0, G ∈ la droite machin.
reste la réciproque : que tout point de cette droite là est bien un point G possible (qu'on peut trouver une valeur de m)
et là , il y a un point qui va coincer.

le lieu de G est donc au final la droite machin sauf le point truc.

Posté par
barka54
re : Barycentres 24-06-20 à 20:07

pour tout m≠0, les droites (AG) et (CB) sont parallèles ou confondues , je pense!
G appartiendrait alors à (AG) ou à (CB)...
Bref cette droite machin'' est -elle (AG) et le point '' truc'' est-il G?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentres 24-06-20 à 20:23

quel que soit quoi que ce soit et toujours sous n'importe quelle condition et quels que soient les points A et G distincts du plan, G appartient à la droite AG

"les droites (AG) et (CB) sont parallèles ou confondues , je pense ! "
tu penses bien !

A appartient-il à (CB) ? donc ces droites peuvent elle être confondues ?
la parallèle à (BC) par A est elle une droite qui dépend de la valeur de m ou pas ? de l'age du capitaine ?
donc c'est une droite fixe. (dont la définition "parallèle à BC passant par A" ne dépend que du triangle ABC)
sur laquelle va se promener G .
donc c'est bien le "lieu" de G
sous réserve de la réciproque, comme déja dit.
(sauf un certain point fixe ; G nest pas un point fixe )

Posté par
barka54
re : Barycentres 24-06-20 à 20:39

okay... je vois...

Posté par
barka54
re : Barycentres 24-06-20 à 20:49

Citation :
sauf un certain point fixe
: A

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentres 24-06-20 à 21:11

oui.
si on place G en A, on ne peut pas trouver de valeur de m avec \vec{0} = \dfrac{1}{m}\,\vec{CB}
donc A ne fait pas partie du lieu
le lieu de G est la parallèle à BC en A, privée du point A.

on peut illustrer tout ça avec Geogebra (et donc vérifier ses calculs ! "à la maison")
en créant un curseur m
et en tapant G = (m*A +B - C)/m
l'outil "lieu" montre alors le lieu de G quand m varie (restreint aux bornes du curseur ! pour R* tout entier il faut faire preuve d'imagination )
et observer comment se déplace G quand on fait varier le curseur.

Barycentres

ici le curseur varie entre -20 et +20, on voit le 'trou' autour de A, trou qui sera de plus en plus petit (jusqu'à infiniment petit) si on augmente la plage de variation de m

Posté par
barka54
re : Barycentres 24-06-20 à 21:13

3.a) À ce niveau, sachant que 2MG²+2GA²+GB²-GC²+4=0 et après avoir calculé les distances GA=2cm , GB=√5cm et GC = √21 cm ; et en les remplaçant dans l'expression
2MG²+ 2GA²+GB²-GC²+4=0,
je trouve uniquement une  égalité en fonction de MG....

Posté par
barka54
re : Barycentres 24-06-20 à 21:15

mathafou @ 24-06-2020 à 21:11
*** citation  intégrale inutile supprimée  ***
indiquer au pire l'heure du message auquel on répond pour éviter des confusions suffit.
ou rien du tout, (on suit la discussion
)

super, je comprends mieux...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentres 24-06-20 à 21:19

oui. tu trouves MG² = une certaine constante numérique
quelle est elle ?

et donc tous les points M sont à une certaine distance constante de G qui est ...
donc le lieu de M est ... (définition de 6ème)

Posté par
barka54
re : Barycentres 24-06-20 à 21:37

J'ai trouvé MG=√2  donc l'ensemble des points M est le cercle C de centre G et de rayon R =√2 cm.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentres 24-06-20 à 21:55

tout à fait.
(et pas besoin de réciproque , tous les calculs effectués sont réversibles, £ est le cercle entier)

à noter que ce fameux G dont on parle depuis la question 3 est en fait G2 le point G pour m = 2.

Posté par
barka54
re : Barycentres 24-06-20 à 22:13

D'accord.

Je vous remercie pleinement pour vos éclaicissements!



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