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Niveau Reprise d'études
barycentres et segment
Posté par sgu35
Bonsoir,
je cherche à montrer que le segment est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs de
et qu'en est-il si les coefficients sont négatifs?
Bonsoir,
S'ils sont tous les deux négatifs, c'est toujours le segment. Et s'ils sont de signes opposés, c'est le complémentaire du segment dans la droite.
Mais comment définis-tu le segment ?
un segment est une portion de droite délimitée par deux points, appelés extrémités du segment. Un segment reliant deux points A et B est noté [AB] et représente la partie de la droite (AB) qui se situe « entre » les points A et B.
Difficile de travailler avec une définition aussi peu formelle.
Comment peux tu traduire mathématiquement le fait que M est "entre" A et B ?
Bonsoir,
je donne une définition du barycentre :
Soient A et B deux points du plan, et
sont deux réels tels que
Alors il existe un unique point G du plan tel que
G s'appelle le barycentre du système
et comment caractérise-t-on qu'un point M appartient à la droite (AB) ? puis qu'il appartient au segment [AB] ?
nous donne
donc le point G existe
et se trouve sur le segment [AB] si
.
on a donc
d'autre part,
nous donne
et donc
si \alpha et \beta sont positifs, et
donc
donc
et bien sûr le quotient \beta/(\alpha+\beta) est positif
non, le coefficient du point A est .
est le nouveau coefficient du point A. Et la somme des nouveaux coefficients vaut 1.
Est-ce que A et B ne seraient pas strictement positifs?
En tout cas, ils ne faut pas qu'ils soient tous les deux nuls sinon le point G n'existe pas.
Je redonne la démonstration :
nous donne
donc le point G existe
et se trouve sur le segment [AB] si
].
d'autre part,
nous donne
et donc
correspond bien au nouveau premier coefficient (celui du point A) car on a :
si et
sont positifs,
et
donc
donc
et bien sûr le quotient
est positif
) donc
donc G se trouve sur le segment [AB].
sgu35 @ 19-06-2021 à 12:03
\vec{GA}+k\vec{GB}=\vec{0})
détailler cette équivalence
or
donc le point G existe
et se trouve sur le segment [AB] si et seulement si ![k\in [0;1]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k\in [0;1])
.
tout ce que j'ai supprimé est inutile !!
or
justifier :
ce qui est en rouge
le signe des coefficients
puis conclure
mais il faut peut-être montrer l'implication réciproque :
Si G se trouve sur le segment [AB], on a donc on a
(si on note
et
les coefficients de A et B).
Mais ensuite, on peut très bien avoir : et
, car dans ce cas
et
donc
et
comme quotient de deux nombres négatifs.
Donc il n'y aurait pas équivalence entre et
positifs et G appartient au segment [AB].
Carpediem, je conteste ta réponse : il faut prendre en compte les coefficients de A et de B pour montrer ce qu'il faut .
Ensuite, je ne comprends pas l'équivalence :
le point G existe et se trouve sur le segment [AB] si et seulement si
,
il s'agit là de la définition du segment....
la première équivalence n'est que manipulation vectorielle et relation de Chasles ...
la deuxième équivalence se démontre avec la définition (de seconde) de la relation vectorielle ...
de toute façon il faut bien partir d'une définition du segment ...