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barycentres merci

Posté par
aurelie231 17-09-06 à 21:05

Bonsoir,
voilà j'ai un petit problème pour faire cet exo, je suis perdue...et en plus c'est pour demain...

Soit ABC 1 triangle équilatéral et 1 ensemble E tel que : 2MA² +3MB²+MC² = 2AB²
Soit H le barycentre {(A,2) (C,1)}.
Soit H le barycentre {(A,2) (B,3)(C,1)}.

1) Exprimer BG en fonction de BH (en vecteur).
2) Exprimer GB en fonction de AB (en utilisant les relations métriques).
3) Exprimer GA et GC en fonction de AB. (en vecteur)
4) Exprimer 2MA² +3MB²+MC²  en fonction de MG et AB.(en vecteur)
Démontrer que E est 1 cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Voilà merci merci beaucoup.
A+

Aurélie

Posté par
raymond CorrecteurRe : Barycentres merci. 17-09-06 à 21:30

Bonsoir Aurélie.
Peux-tu nous préciser les rôles de G et de H dans ton énoncé ?
Cordialement RR.

Posté par
aurelie231re : barycentres merci 17-09-06 à 21:37

J'ai fais 1 erreur dans l'énoncé :
C'est, soit H le barycentre tel que {(A,2) (C,1)}
Soit G le barycentre {(A,2) (B,3)(C,1)}


G et H sont des barycentres.

Voilà merci a+
Aurélie

Posté par
raymond Correcteurre : barycentres merci 17-09-06 à 21:39

Merci, j'attaque et je te tiens au courant de mes résultats.
Cordialement RR.

Posté par
raymond Correcteurre : barycentres merci 17-09-06 à 22:13

1°) Première méthode.
Par construction des barycentres :
2$\textrm\vec{AH} = \frac{1}{3}\vec{AC}.
Donc, H est au tiers du segment [AC], plus près de A.
Par associativité du barycentre, G est barycentre de (H,3) et de (B,3). Donc :
G est le milieu de [BH]. Conclusion :
2$\textrm\vec{BG} = \frac{1}{2}\vec{BH}.
Deuxième méthode : tout ce qui précède peut s'obtenir par les calculs vectoriels : définition du barycentre et relation de Chasles, mai c'est plus long.
2°) On travaille dans le triangle ABH. On sait que AH = (1/3)AB et que (AB,AH) = /3.
Par la formule classique : HB² = AB² + AH² - 2.AH.AB.cos(/3)
HB² = AB² + AB²/9 - 2.(AB²/3).(1/2) = (7AB²)/9. Donc :
2$\textrm HB = \frac{AB\sqrt{7}}{3} et GB = \frac{AB\sqrt{7}}{6}. (Sauf erreur).
3°) Il y a un problème :
2$\textrm\vec{GA} et \vec{GC} ne sont pas colinéaires à 2$\textrm\vec{AB}, donc pas de moyen d'expression. Peux-tu vérifier l'énoncé ?
Cordialement RR.

Posté par
aurelie231re : barycentres merci 17-09-06 à 22:26

merci, mais pour la question 1, vous pourriez m'expliquer la 2ème méthode svp ?
Dans la question 3 c'est 2 questions différentes : on veut GA en fonction de AB et GC en fonction de AB.
Voilà merci encore A+
Aurélie

Posté par
raymond Correcteurre : barycentres merci 17-09-06 à 22:59

Donc, pour la question 3) il n'est pas question de vecteurs.
3°)a. La formule de la médiane dans le triangle ABH donne : AB² + AH² = (1/2)BH² + 2AG².
Cela me donne (sauf erreur de calcul) :
2$\textrm AG = \frac{AB\sqrt{13}}{6}
b. Toujours la même formule, mais dans HBC me donne :
2$\textrm CG = \frac{AB\sqrt{19}}{6}
4°) On utilise la formule de Chasles :
2$\textrm 2MA^2 + 3MB^2 + MC^2 = 2(\vec{MG}+\vec{GA})^2 + 3(\vec{MG}+\vec{GB})^2 + (\vec{MG}+\vec{GC})^2.
On développe et on tient compte du fait que :
2$\textrm 2\vec{GA} + 3\vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}.
En utilisant les résultats des longueurs, je trouve :
2$\textrm 2MA^2 + 3MB^2 + MC^2 = 6MG^2 + \frac{11AB^2}{6}.
Alors, l'ensemble (E) est défini par :
2$\textrm 2MA^2 + 3MB^2 + MC^2 = 2AB^2 \Longrightarrow MG^2 = \frac{AB^2}{36}.
Donc : MG = AB/6 : M décrit le cercle de centre G et de rayon AB/6.

Pour la question 1°)
2$\textrm 2\vec{HA} + \vec{HC} = \vec{0} et 2\vec{GA} + 3\vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}.
Par la relation de Chasles, on introduit le point H dans la formule (2) et on trouve le résultat que je t'ai donné. Il signifie d'ailleurs bien que G est au milieu de [BH].
Cependant, il est également intéressant de bricoler la relation (1) en exprimant :
\vec{AH} en fonction de \vec{AC} pour trouver :
2$\textrm\vec{AH} = \frac{1}{3}\vec{AC}. Je te laisse faire.
Cordialement RR.

Posté par
aurelie231re : barycentres merci 17-09-06 à 23:22

merci de votre aide,
cela m'a beaucoup aidé.
Bonne soirée
A+
Aurélie

Posté par
aurelie231re : barycentres merci 18-09-06 à 07:04

j'ai un petit problème, dans la question 4) j'arrive pas à trouver d'où vient le 11AB²/6.
J'ai cherché mais sans résultats...
merci
A+
Aurélie

Posté par
raymond Correcteurre : barycentres merci 18-09-06 à 09:29

Bonjour aurélie.
Après avoir employé la décomposition de Chasles que je t'ai proposée, je trouve :
2MA² + 3MB² +MC² = 6MG² + 2GA² + 3GB² + GC².
Ensuite, j'ai remplacé GA, GB, GC par les valeurs que j'ai trouvées en fonction de AB et sauf erreur de calcul, cela me donne 6MG² + (11/6)AB².
Alors, l'énoncé proposant 2AB², j'obtiens :
6MG² + (11/6)AB² = 2AB². Cela donne : MG² = AB²/36. D'où ma conclusion.
Cordialement RR.


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