Je suppose, à voir tes notations, que G est de type fini ? D'un autre côté, tu parles aussi de cardinalité donc j'ai un doute
En tout cas, si G est abélien libre de type fini et si est une base de G il y a un isomorphisme entre et , donné par (prouve-le !)

Alors si est une autre base indexée par un ensemble fini du \mathbb{Z}-module libre G, il y a par composition un isomorphisme entre et . Il n'est pas très difficile alors d'en déduire que

Bonjour,

La cardinalité est celle d'une base, pas du groupe : pas de problème.

L'indication (passer modulo 2) est astucieuse : quel est le cardinal de G/2G ?

Oui, c'est justement tout le problème, que ce soit celle de la base
Parce qu'alors l'isomorphisme a lieu entre G et les famille presques finies indexées par I à valeurs dans Z. Ca donne un isomorphisme entre Z^(I) et Z^([1,n]). Il faut alors l'axiome du choix pour trouver un idéal maximal et quotienter pour trouver un corps, puis un isomorphisme d'espaces vectoriels sur ce corps.
Plus compliqué

Merci pour vos réponses,

Ulmiere peux tu redire par quoi est indexée ta base c'est pas écrit clairement chez moi. Mias je vois que tu parles de module, que je n'ai pas encore étudié.
Tu parles de composition d'isomorphismes, du coup il faudrait montrer que ^CardI ?

GBZM on a (2G c'est l'ensemble des g+g c'est ça ?)

J'imagine que c'est de type fini, il n'y a pas plus d'informations la dessus.

Si n est fini, ça force I à être fini aussi (une histoire de famille libre extraite).
Si n est un ordinal, c'est plus compliqué.

Aucune idée de ce qu'est un ordinal, ici n, c'est à dire le cardinal de la base, est entier.

Mais Ulmière, quel est ton problème ?
Tu as l'air de penser qu'un cardinal est forcément infini. C'est ça ?

@raisinsec : bien d'accord, puisque G est un groupe abélien libre qui a une base de cardinal n, le cardinal de G/2G est 2^n.
Vois-tu comment conclure sur le cardinal d'une autre base de G ?

Non il ne l'est pas forcément (ici, raisinsec a confirmé qu'il était bien fini), mais il peut l'être. S'il l'est, la somme est à comprendre comme indexée par un sous ensemble fini de n pour chaque x et l'isomorphisme que j'ai donné est à remplacer par un isomorphisme entre et (surjectif parce que la base est Z-génératrice, et injective parce qu'elle est Z-linéairement indépendante).

Ca implique que si G admet une base infinie, toutes ses bases sont infinies, mais rien ne dit directement qu'elles soient de même cardinalité a priori

L'indication de considérer G/2G règle tous les problèmes assez facilement.

Non GBZM, je ne vois pas vraiment comment conclure. Mais avant de conclure il ne faut pas montrer l'isomorphisme ?

Il me semble plus utile, pour exploiter l'indication qui t'est faite, de montrer que est un espace vectoriel sur , et qu'une base de donne une base de cet espace.

On a (/2)ⁿ, qui est un /2 espace vectoriel, donc on peut définir une multiplication grâce a cet isomorphisme c'est ça ?
Et je répète ma question, 2G c'est l'ensemble des g+g c'est ça ?
Est ce qu'on a que g_i(2G)g_j(2G)
ij ? Si 2G est bien ce que je pense je peux montrer que c'est vrai je crois.

Maintenant si on considère une combinaison linéaire des éléments g_i(2G)
qui est nulle, on a que la combinaison linéaire des g_i est nulle ce qui implique que les coefficients sont nuls. La surjectivité s'obtient en prenant la décomposition de g avec la base. Donc c'est une base de , donc de cardinalité n par l'isomorphisme entre et (/2)ⁿ.
C'est bon ?

Mais on montre pas l'indication la si ?

Oui 2G est bien le sous-groupe des g+g.
Et si, ça revient à démontrer l'isomorphisme de l'indication, sous une forme que je trouve personnellement plus utile.
Vu que les éléments de sont 0 et 1, la multiplication par les scalaires pour , ce n'est vraiment pas grand chose ! L'important est que la multiplication par 2 annule tout.

Je reviens vers toi parce que je suis moins sur qu'hier sur comment ça marche. Pour moi c'est important de définir proprement la multiplication scalaire parce qu'elle peut poser problème.
Par exemple si
=
perd de son sens. On veut avoir un élément de /2 en coefficient.

Si par exemple on a , qui me parait le plus naturel, on a = où
et Jaina du mal à voir pourquoi c'est vrai

Tu te compliques inutilement la vie.
G/2G est un groupe abélien où le double de tout élément est nul. Et tout groupe abélien où le double de tout élément est nul est un espace vectoriel sur Z/2Z.  D'ailleurs "abélien" est de trop puisque ça vient automatiquement.

T'as raison, merci beaucoup pour ton aide !

Avec plaisir

Voici une solution avec l'indication que j'ai donnée, juste par souci de complétude.

Soit une base de , indexée par un ensemble fini de cardinal .
Alors l'application est un isomorphisme de groupes entre et .

En effet,
et par -linéarité, .
est surjective puisque tout élément de s'écrit comme combinaison linéaire d'éléments de , qui est une base, donc génératrice de .
Enfin, est aussi injective puisque si , alors . La base étant -linéairement indépendante, cela implique pour tout .


Or, nous savons que est une base de . Donc il y a un isomorphisme entre et . Donc aussi un isomorphisme entre et .


Aussi, pour tout, est un anneau qui possède un idéal maximal (n'importe quel , par exemple pour , magie ! ). En le quotientant par , on obtient donc un corps .

On peut ensuite obtenir une bijection -linéaire induite par entre les corps et . La théorie, que tu connais sûrement, des espaces vectoriels de dimension finie nous dit alors que nécessairement .


C'est moins élémentaire que l'indication de ton énoncé, mais c'est intéressant à lire je pense