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Base d'un noyau

Posté par
KrnT
08-04-21 à 15:17

Bonjour/Bonsoir,
Je viens de trouver un exercice où il est demandé de trouver la base d'un noyau et d'une image et sachant que je crois n'avoir pas encore acquis de l'aisance dans ce chapitre je voudrais vous consulter sur la démonstration :
Enoncé :
Soit l'application f définie de R3 dans R2 par :
∀(x, y, z) ∈ R3, f(x, y, z) = (x + y − z, x − y + 2z)
Déterminer une base du noyau de f puis sa dimension.
Réponse :

Après avoir démontré que f est une application linéaire :
J'ai pris un certain (x,y,z) ∈ R3
f(x,y,z) =(x+y-z,x-y+2z)
On suppose que (x,y,z) ∈ Ker(f)
alors \begin{cases}     
 \\  & \text{ } x+y-z=0\\ 
 \\  & \text{ } x-y+2z= 0
 \\ \end{cases}      
  \begin{cases}
 \\  & \text{ } 2x+z=0\\ 
 \\  & \text{ } 3x+y= 0
 \\ \end{cases}
\begin{cases}
 \\  & \text{ } x= -\frac{z}{2}+0y \\ 
 \\  & \text{ } y=0z+1y \\ 
 \\  & \text{  } z= 1z+0y 
 \\ \end{cases}
\begin{pmatrix}x
 \\ \\ y
 \\ \\ z
 \\ 
 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}z
 \\ \\ 0z
 \\ \\ 1z
 \\ 
 \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0y
 \\ \\ 1y
 \\ \\ 0y
 \\ 
 \\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x
 \\ \\ y
 \\ \\ z
 \\ 
 \\ \end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}
 \\ \\ 0
 \\ \\ 1
 \\ 
 \\ \end{pmatrix}+ y\begin{pmatrix}0
 \\ \\ 1
 \\ \\ 0
 \\ 
 \\ \end{pmatrix}
donc (x,y,z)=z(-1/2,0,1) + y(0,1,0) avec z,y des réels
donc la base est (-1/2,0,1) + (0,1,0) (Après vérification j'ai bien trouvé qu'elle est libre et génératrice)

Posté par
Camélia Correcteur
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 15:27

Bonjour

Les vecteurs (-1/2,0,1) et (0,1,0) ne sont pas dans le noyau de f!

Tu as fait des erreurs en résolvant le système, mais il fallait quand même vérifier que tu trouves bien des vecteurs du noyau!

Posté par
KrnT
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 17:04

( J'étudie ce chapitre en autodidacte)
J'ai un peu de mal à trouver comment procéder vu qu'on est face à un système à 2 équations et 3 inconnus et tout les triplets qui sont solutions de ces deux équations seront proportionnels l'un par rapport à l'autre, toutes vos idées sont les bienvenues

Posté par
matheuxmatou
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 17:16

bonjour

reprends ton système

x + y = z
x - y = -2z

et exprime x et y en fonction de z

Posté par
carpediem
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 17:17

salut

\left\lbrace\begin{matrix} x + y - z = 0\\ x - y + 2z = 0 \end{matrix}\right. \iff \left\lbrace\begin{matrix} x + y = z\\ x - y = -2z \end{matrix}\right.

et il est aisé d'en déduire x (en additionnant) et y (en soustrayant) en fonction de z ...

Posté par
KrnT
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 17:25

De là nous trouvons x=-z/2 y=3z/2
Donc pour chaque z nous aurons une solution pour z=1 nous avons (-1/2,3/2,1) mais je vois que nous somme dans R2 donc il faut que la base soit de dim 2 alors qu'il nexiste que (-1/2,3/2,1)  et si nous prenons z=2,3,4,... le 2 eme vecteur sera proportionnel au premier, non ?

Posté par
matheuxmatou
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 17:28

donc effectivement les vecteurs du noyau sont colinéaires au vecteur (-1 ; 3 ; 2)

(j'aime pas les fractions quand je peux m'en passer)

le noyau de f est donc de dimension 1 !

c'est une droite vectorielle de 3

Posté par
matheuxmatou
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 17:29

l'espace de départ de f est 3

le noyau de f est dans l'espace de départ

Posté par
KrnT
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 17:33

Merci infiniment je me faisais fausse route en cherchant un 2 eme vecteur qui ne soit pas une combinaisondu premier

Posté par
matheuxmatou
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 17:42

ben y'en a pas

si tu paramètres ton système par z = 2 t

tu obtiens

Ker(f)   = t (-1 ; 3 ; 2)

UN paramètre pour décrire Ker(f) donc dimension UN

Posté par
matheuxmatou
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 17:42

* = ....

Posté par
KrnT
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 17:57

Pour la 2 ème question où il faut déterminer une base de l'image de f puis sa dimension.
J'ai pris Dim(R3)=Dim(Im(f))+Dim(ker(f))
On trouve que la dimension de la base de l'image est égale à 2
et je sais que (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) est une base de R3 donc f((1,0,0)) appartient à Im(f) de même pour f((0,1,0)) et je trouve les deux couples (1,1) (-1,1)
Mais je crois ne pas comprendre quelque chose si je prends aussi f((0,0,1)) je trouve le couple (-1,2) et je trouve que la famille des 3 couples est libre et génératrice problème car cette famille est de dim 3

Posté par
matheuxmatou
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 18:04

réfléchissons simplement !

le théorème du rang te dit que Im(f) est de dimension 2

et Im(f) est un sev de 2 (espace d'arrivée de f)

et quelle est la dimension de 2 ?

Posté par
KrnT
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 18:08

KrnT @ 08-04-2021 à 17:57

Pour la 2 ème question où il faut déterminer une base de l'image de f puis sa dimension.
J'ai pris Dim(R3)=Dim(Im(f))+Dim(ker(f))
On trouve que la dimension de la base de l'image est égale à 2
et je sais que (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) est une base de R3 donc f((1,0,0)) appartient à Im(f) de même pour f((0,1,0)) et je trouve les deux couples (1,1) (-1,1)
Mais je crois ne pas comprendre quelque chose si je prends aussi f((0,0,1)) je trouve le couple (-1,2) et je trouve que la famille des 3 couples est libre et génératrice problème car cette famille est de dim 3

Et en plus de cela le trio de triplets n'est pas libre ^^'
Merci infiniment encore une fois

Posté par
matheuxmatou
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 18:11

je n'ai pas la réponse ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 19:17

BOnjour
je reviens à la première question, parce que tu avais la réponse sous les yeux dès le début :

KrnT @ 08-04-2021 à 15:17

Bonjour/Bonsoir,
Je viens de trouver un exercice où il est demandé de trouver la base d'un noyau et d'une image et sachant que je crois n'avoir pas encore acquis de l'aisance dans ce chapitre je voudrais vous consulter sur la démonstration :
Enoncé :
Soit l'application f définie de R3 dans R2 par :
∀(x, y, z) ∈ R3, f(x, y, z) = (x + y − z, x − y + 2z)
Déterminer une base du noyau de f puis sa dimension.
Réponse :

Après avoir démontré que f est une application linéaire :
J'ai pris un certain (x,y,z) ∈ R3
f(x,y,z) =(x+y-z,x-y+2z)
On suppose que (x,y,z) ∈ Ker(f)
alors \begin{cases}     
 \\  & \text{ } x+y-z=0\\ 
 \\  & \text{ } x-y+2z= 0
 \\ \end{cases}
\begin{cases}
 \\  & \text{ } 2x+z=0\\ 
 \\  & \text{ } 3x+y= 0
 \\ \end{cases}


ne vois-tu pas que tu peux sans aucune difficulté exprimer z en fonction de x dans la première ligne, et y en fonction du même x dans la seconde ligne ?
ainsi tu avais établi que (x,y,z) est dans Ker f si et seulement si (x,y,z) = (x,-3x,-2x) ...
tu l'avais, ta droite vectorielle !

Posté par
KrnT
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 19:37

lafol @ 08-04-2021 à 19:17

BOnjour
je reviens à la première question, parce que tu avais la réponse sous les yeux dès le début :
KrnT @ 08-04-2021 à 15:17

Bonjour/Bonsoir,
Je viens de trouver un exercice où il est demandé de trouver la base d'un noyau et d'une image et sachant que je crois n'avoir pas encore acquis de l'aisance dans ce chapitre je voudrais vous consulter sur la démonstration :
Enoncé :
Soit l'application f définie de R3 dans R2 par :
∀(x, y, z) ∈ R3, f(x, y, z) = (x + y − z, x − y + 2z)
Déterminer une base du noyau de f puis sa dimension.
Réponse :

Après avoir démontré que f est une application linéaire :
J'ai pris un certain (x,y,z) ∈ R3
f(x,y,z) =(x+y-z,x-y+2z)
On suppose que (x,y,z) ∈ Ker(f)
alors \begin{cases}     
 \\  & \text{ } x+y-z=0\\ 
 \\  & \text{ } x-y+2z= 0
 \\ \end{cases}      
  \begin{cases}
 \\  & \text{ } 2x+z=0\\ 
 \\  & \text{ } 3x+y= 0
 \\ \end{cases}


ne vois-tu pas que tu peux sans aucune difficulté exprimer z en fonction de x dans la première ligne, et y en fonction du même x dans la seconde ligne ?
ainsi tu avais établi que (x,y,z) est dans Ker f si et seulement si (x,y,z) = (x,-3x,-2x) ...
tu l'avais, ta droite vectorielle !

C'est juste que je n'avais aucune idée de la dimension et je croyais dur comme fer qu'il serait de dimension 2 et je cherchais à trouver 2 vecteurs

Posté par
lafol Moderateur
re : Base d'un noyau 08-04-21 à 19:42

tu l'avais sous les yeux, la dimension... si on peut tout exprimer en fonction du seul x, c'est que la dimension est 1



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